hf专题三、立体几何中的折叠与展开问题.docVIP

立体几何中的折叠、展开 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 一、折叠与展开中的垂直问题 例1.如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起， 使∠AED=60°，求证:AE⊥平面ABC 解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解： ∵FG∥BC，AD⊥BC ∴AE⊥FG ∴AE⊥BC设AE=a，则ED=2a由余弦定理得：AD2=AE2+ED2-2?AE?EDcos60°=3a2 ∴ED2=AD2+AE2 ∴AD⊥AE ∴AE⊥平面ABC 例2. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE. 解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝； 二、折叠与展开中的空间角问题 例3. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起， 使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—B-—C的。 　　 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′。 例4. 如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠. (1)求证：AD⊥EC，且与二面角F—AD—C的大小无关； (2)FC与FE所成的角为30°时，求二面角F—AD—C的余弦值. 解析：(1)正六边形ABCDEF，在折叠前有AD⊥EC，设AD与EC交于M，折叠后即有AD⊥ME，AD⊥MC.则AD⊥平面EMC，无论∠EMC的大小如何，总有AD⊥EC.(2)利用余弦定理，有cos∠EMC＝ 三、折叠与展开中的距离与体积问题 例5. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2， 以AC为轴翻折半平面，使二平面角B—AC—D为120°， 求：翻折后，D到平面ABC的距离； 解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同. 解：分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，交点B′，则四边形EFB′B是矩形.∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，∠DFB′＝120°. 过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC. 在RtΔADC中，CD＝2，AD＝2，∴DF＝，OD＝DF·sin60°＝. 例6. 正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点， N为BC的中点，在棱柱表面上从点M到点N的最短距离是多少? 解析： (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝＝ (2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2. 则MN＝＝＝ ∵＜ ∴＝. 立体几何中的折叠与展开练习 1. 在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，ab，E、F分别是 AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起， 当时，二面角C—EF—B的平面角的余 弦值等于（ ）A．0 B． C． D． 2.一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O， 以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD等于( ) A.120° B.150° C.135° D.90° 3.长方形中，AB=BC,把它折成正三棱柱的侧面，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N,则截面MNA与棱柱的底面DFH所成的角等于( ) A．30o B．45o C．60o D．90o 4.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF， AD