山东省临清市高中数学全套学案选修1-1：1.1.3 双曲线及其标准方程.docVIP

1.1.3双曲线及其标准方程 课前预习学案 一、预习目标 ①双曲线及其焦点,焦距的定义。 ②双曲线的标准方程及其求法。 ③双曲线中a，b，c的关系。 ④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、预习内容 双曲线的定义。 利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。 掌握a，b，c之间的关系。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一、教学过程 前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆”。 下面我们来考虑这样一个问题？ 平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？ 我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。 若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时 ，可知它的轨迹也是一条曲线 那么由这个实验我们得出一个结论： “平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。” 但大家思考一下这个结论对不对呢？ 我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|） 那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？ 下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线； 随着|MF1|-|MF2|的不断变化 ，呈现出一系列不同形状的双曲线； 当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2 为端点的两条射线； 若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。 那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义： 定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。 我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准方程。 当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时， 那么双曲线方程是否也有标准方程呢？ 我们就来求一下看看： 解：建立直角坐标系xoy，使x轴经过F1，F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。 如图所示： 设M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c＞0），那么，焦点F1，F2， 的坐标是（－c，0）（c，0）。又设点M与F1，F2，的距离的差的绝对值等于常数2a 有定义可知，双曲线就是集合 p＝{M||MF1|－|MF2|=±2a} 因为 |MF1|= |MF2|= 所以得 －＝±2a ① 将方程①化简，得 （c2－a2）x2－ay2＝a2（c2－a2） 由双曲线的定义可知，2c＞2a，即c＞a，所以c2-a2＞0 令c2-a2=b2其中b＞0，代入上式，得 b2x2－a2y2=a2b2 两边除以a2b2，得 （a＞0,b＞0）这个方程叫做双曲线标准方程。 当焦点在y轴上时, F1(0,－c) F2(0,c) （a＞0,b＞0） *观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题： 1、焦点在哪个轴上如何判断？ 2、方程中a,b,c 的关系怎样? （椭圆哪个二次项的分母大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。） 例1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程： a=3,b=4焦点在y轴上， 解：因为焦点在y轴上 所以所求方程为 a=5,b=7, 分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析 解：当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 3．两焦点为F1(－5,0),F2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8 练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程： 1、a=4,b=6,焦点在x轴 解：由b2=c2－a2=62－42=20 又因为焦点在x轴上所以所求方程为： 2、c=10,b=7焦点在y轴上 解：由a2=c2－b2=102－72=51 又因为焦点在y轴上，所求方程为： 例2：求下列双曲线的焦点坐标： 1、 解：a2=36,b2=64 ∴c2=36+64=100,c=10 又因为焦点在x轴上， 所求焦点坐标为(10,0),(－10,0)。 2、 解：化标准方程为： a2=1,b2=8，又因为焦点在y轴上, 所求焦点坐标为(0,3),(0,－3)。 3、9y2-4x2=36 解：化标准方程为： 所以a2＝4，b2＝9。 由从c2＝a2+b2=4+9=13。 又因为焦点在y轴上; 所求焦点坐标为（0，）和（0，－）