第五章 约束问题.pptVIP

第五章 约束问题 第一节 约束的四种基本类型 第二节 经过重构的某些经济学应用 第一节约束的四种类型 一、等式约束 最大化问题： 满足一组m个独立但一致的约束（mn）： 对原始被积函数 构造一个拉格朗日函数： 在目标函数中用 代替F给出了新函数： 把拉格朗日乘子作为附加状态变量，每一个满足一个欧拉-拉格朗日方程： 与 相联系的欧拉-拉格朗日方程： 由于 独立于任意 ，所以对于每个 都有 例1 找出位于曲面 上的在给定两点 和 之间的最短路径。 解：两点之间的距离用 来度量。 最小化 满足 和 构造拉格朗日被积函数 的偏导数： 欧拉-拉格朗日方程： 该题变成 约束条件： 二、微分方程约束 最大化 满足 拉格朗日被积函数仍为： 和 适当的边界条件 关于状态变量 的欧拉-拉格朗日方程： 关于拉格朗日乘子 的欧拉-拉格朗日方程： 个欧拉-拉格朗日方程和 个约束条件共同决定 个路径 和 。 三、不等式约束 最大化 满足 我们把拉格朗日函数写为： 和 适当的边界条件 上页得到拉格朗日函数： 与 相联系的欧拉-拉格朗日方程： 为了确保所有的 项在解中消失为零（以使 的最优值与F的最优值相等），我们需要在第 个乘子与第 个约束之间对所有 都建立互补-松弛条件： 四、等周问题 下面以单个状态变量和单个积分约束为例： 和 适当的边界条件 最大化 满足 我们可以写出拉格朗日函数： 我们定义函数 分别有 上页得到拉格朗日函数： 对应的欧拉-拉格朗日方程： （6.18） （6.17） （6.18）式可以简化为： （6.16） （6.17）式可以表示为: 上页推导得到的欧拉-拉格朗日方程： 因此，可以写成不含 的修正拉格朗日函数： （6.20） （6.20）式对应的欧拉-拉格朗日方程为： 对于 个状态变量、 个积分约束的修正拉格朗日函数：