第二章第二节柯西定理和第三节不定积分.pptVIP

* * §2.2 及§2.3 柯西定理及不定积分 (一) 单连通区域的情形 (二) 复通区域的情形 复习： 格林公式： 在平面区域D上的二重积分可以通过沿区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。 定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x, y)及Q(x, y)在D 上具有一阶连续偏导数，则有 这里L是D的取正向的整个边界曲线。上式叫格林公式。 (一) 单连通区域的情形 单与复连通区域： 复连通区域D 的边界曲线L由 和 组成, 单连通区域 D 的边界曲线L的正向是逆时针方向. 逆时针 顺时针方向为边界曲线L的正向. 单连通区域的柯西定理： 如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任 一个分段光滑的闭合曲线l有： 这里的l也可以是B的边界。 证明： 由于f(z)解析，因而其偏导数 在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式 将上面的闭合曲线积分化为面积分 在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式 由于f(z)解析，因而其偏导数 根据Cauchy-Riemann方程 右端两个积分中的被积函数均为0，故有 将上面的闭合曲线积分化为面积分 由此证明了单连通区域的柯西定理： 如果函数f(z)在闭单连通区域B中解析，则沿B中任 一个分段光滑的闭合曲线l有： 这里的l也可以是B的边界。 推论：若f(z)在单连通区域中解析，则复变积分 与路径无关。 因此，如果固定起点z0, 而令终点z为变点，则作为积分上限的函数 是单连通区域内的以z为宗量的单值函数。我们称该函数F(z)称为f(z)的不定积分。 f(z)的不定积分 如果函数f(z)在单连通区域内解析，则 也在单连通区域内解析。并且 即F(z)是f(z)的一个原函数。 还可以证明： 即路积分的值等于原函数的改变量(由起点z1和终点z2决定，与从z1到z2的路径无关)。 (二) 复通区域的情形 奇点：不可导、不连续、没有定义 复通区域概念： 境界线的正方向： 复连通区域 复通区域的柯西定理： 如果f (z)是闭复通区域上的单值解析函数，则 式中l 为区域外境界线，诸li为区域的内境界线，积分均沿境界线正方向进行。 证明思路：复通区域转化为单通区域 l l2 l1 l l2 l1 D C D’ C’ A’ B’ B A l l2 l1 D C D’ C’ A’ B’ B A 证明: 即 总结起来，柯西定理说的是： 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向积分和为零。 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。 (三) 一个重要例题与结论 计算积分 n为整数. · · x y x y a a O O l l C R 解： 回路 l 不包围点 a I = 0 (单连通区域柯西定理) 回路 l 包围点 a (a) 被积函数 在 l 所围区域上解析。 (b) 被积函数在 l 所围区域有一个奇点a。 以a为圆心，R为半径画一员周C，在C上， 根据复通区域的柯西定理有： = 0 0 综合以上讨论，得出 *