2010年北京一模数学试题专题汇编(New!)数列.docVIP

数列 （西城·理·题3）设等差数列的前项和为，，则等于（ ） A．10 B．12 C．15 D．30 （宣武·理·题5）若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ） A． B． C． D． （海淀·理·题6）已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（ ） A．或 B．或 C． D． （东城·理·题7） 已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（ ） A． B． C． D． （丰台·理·题8）已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是（ ） A． B． C． D． （海淀·理·题）已知数列具有性质：对意，与两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题： ① 数列具有性质；② 数列具有性质； ③ 若数列具有性质，则； ④ 若数列具有性质，则． 其中真命题有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个 （石景山·理·题14）在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断： ①若是等方差数列，则是等差数列；②是等方差数列； ③若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列； ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上） （石景山·理·题18）在数列中，，且． ⑴求，的值；⑵证明：数列是等比数列，并求的通项公式；⑶求数列的前项和． （丰台·理·题20）设集合由满足下列两个条件的数列构成： ①；②存在实数，使．（为正整数） ⑴在只有项的有限数列，中，其中； ；试判断数列是否为集合的元素； ⑵设是各项为正的等比数列，是其前项和，，， 证明数列；并写出的取值范围； ⑶设数列且对满足条件的的最小值，都有．求证：数列单调递增． （海淀·理·题20）已知数列满足：，，． ⑴求的值；⑵设，试求数列的通项公式； ⑶对于任意的正整数，试讨论与的大小关系． （东城·理·题20）已知数列满足，． ⑴求证：；⑵求证：；⑶求数列的通项公式． （西城·理·题20）对于各项均为整数的数列，如果（=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列具有“性质”． 不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”． ⑴设数列的前项和，证明数列具有“性质”； ⑵试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由； ⑶对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”． （宣武·理·题20）已知数列满足，点在直线上． ⑴求数列的通项公式； ⑵若数列满足，求的值； ⑶对于⑵中的数列，求证：． 1C；2B3C；4C；5C；6B；7①②③④；． 8⑴∵，， ∴，． ⑵证明：∵， ∴数列是首项为，公比为的等比数列． ∴，即，∴的通项公式为． ⑶∵的通项公式为 ， 所以， ． 9⑴对于数列，取，显然不满足集合的条件，① 故不是集合中的元素，对于数列，当时， 不仅有，，，而且有， 显然满足集合的条件①②，故是集合中的元素． ⑵∵是各项为正数的等比数列，是其前项和， 设其公比为，∴，整理得． ∴，∴， 对于，有，且， 故，且 ⑶证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数， 使，易证于任意的，都有，证明如下： 假设时，当时，由，． 而所以 所以对于任意的，都有． 显然这项中有一定存在一个最大值，不妨记为； 所以，从而与这题矛盾．所以假设不成立，故命题得证． 10⑴∵，，，， ∴；；． ⑵由题设，对于任意的正整数，都有： ，∴． ∴数列是以为首项，为公差的等差数列．∴． ⑶对于任意的正整数，当或时，； 当时，；当时，． 证明如下：首先，由，，，可知时，； 其次，对于任意的正整数， 时，； 时， 所以．时， 事实上，我们可以证明：对于任意正整数，…（*）（证明见后）， 所以此时．综上可知：结论得证． 对于任意正整数，（*）的证明如下： ⅰ）当（）时， ，满足（*）式． ⅱ）当时，，满足（*）式． ⅲ）当时， 于是只须证明，如此递推，可归结为ⅰ）或ⅱ）的情形，于是（*）得证． 11⑴用数学归纳法证明 ⅰ）当时，．所以结论成立． ⅱ）假设时结论成立，即，则． 所以．即时，结论成立． 由ⅰ）、ⅱ）可知对任意的正整数，都有． ⑵． 因为，所以，即．所以． ⑶，，所以． 又，所以．