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三重积分的定义 三重积分的性质 三重积分的计算 * §9．4 三重积分的概念及其计算法 一、三重积分的定义 二、三重积分的性质 三、三重积分的计算 三重积分化为三次积分 先二重积分后定积分 设f (x，y，z)是空间有界闭区域 ?上的有界函数．将 ? 任意 分成 n 个小闭区域 ?v1，?v2，··· ，?vn 其中?vi表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积．在每个?vi上任 取一点(xi，hi，zi)，作乘积f(x i，h i，z i) ?vi（i?1，2，···，n)并 作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时， 这和的极限总 存在， 则称此极限为函数f (x，y，z)在闭区域 ?上的三重积分， 即 三重积分中的有关术语： 积分号， 被积函数， f(x，y，z) 被积表达式， f(x，y，z)dv 体积元素， dv 积分变量， x，y，z 积分区域， W 积分和． 直角坐标系中的体积元素： 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分W，则 ?vi ??xi ?yi?zi ． 因此在直角坐标系中有时也把体积元素 dv 记作 dxdydz，而把三 重积分记作 其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素． 三重积分的存在性： 当函数 f (x，y，z) 在闭区域 ?上连续时，函数 f(x，y，z) 在 ?上的三重积分是存在的，以后也总假定 f(x，y，z) 在闭区域 ? 上是连续的． 三重积分的性质与二重积分的性质类似． 例如 其中 v 表示区域 W 的体积． 三重积分也可化为三次积分来计算． 设空间闭区域?可表为 ． x y z O b a y=y2(x) y=y1(x) z=z1(x, y) z=z2(x, y) 则 ? D z1(x，y)? z? z2(x，y) ，y1(x)? y ? y2(x)，a ? x ? b， 注意三重积分化为三次积分的过程： ． 画出空间闭区域? ， 向坐标面投影， 向坐标轴投影， 把闭区域?表为不等式组： 写出三次积分： x y z O b a y=y2(x) y=y1(x) z=z1(x, y) z=z2(x, y) D z1(x，y)? z? z2(x，y) ， y1(x)? y ? y2(x)， a ? x ? b． ? x?2y?z?1所围成的闭区域． 解 作图， 区域W可表示为: 于是 ． x y z O x?2y?1 x?2y?z?1 1 1 1/2 例1 练习： 域W分别是： (1) 由曲面z?1?x2?y2，z?0所围成的闭区域； (2) 由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0，z?0所围成的闭区域； (3) 由曲面z?x2?2y2 及z?2?x2所围成的闭区域； (1) 由曲面z?1?x2?y2，z?0所围成的闭区域： x y z O z?1?x2?y2 1 1 1 x2+y2=1 先对z，后对y，最后对x的三次积分： 先对x，后对y，最后对z的三次积分： (2) 由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0，z?0所围成的闭区域； x y z O 1 1 1/4 xy?z (3) 由曲面z?x2?2y2 及z?2?x2所围成的闭区域； x y z O z?x2?2y2 2 z?2?x2 1 1 O x y z 2 (3) 由曲面z?x2?2y2 及z?2?x2所围成的闭区域； z?x2?2y2 z?2?x2 *