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数值计算报告——Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解线性方程组摘要由于迭代法能充分避免洗漱矩阵中零元的存贮与计算，因此特别适用于解系数矩阵结束很高而非零元极少（即大型稀疏）的线性方程组。本文运用Jacobi和Gauss-Seidel两种迭代法实现了输入系数矩阵、常系数向量和初值即可输出迭代结果的程序。可以比较得出两种迭代方法的收敛速度等。关键词：Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法算法描述在实际生活中，很多问题都涉及下面的线性方程组的求解 （1-1）用迭代法解线性方程组的思路与一元方程求根的迭代法类似，首先将方程组转化为等价方程组，取初始向量，按下述格式迭代 （1-2）生成向量序列，若此序列收敛于，则有，即为原方程组之解。因此，可根据精度要求选择一个合适的作为近似解，这就是解线性方程组的迭代法。式（1-2）称为迭代格式，称为迭代矩阵，若序列极限存在，称此迭代过程收敛，否则称为发散。Jacobi迭代法解题思路：令式（1-1）中，则可将(1-1)改写为等价方程组建立迭代格式或缩写为 算法:clearA=input(请输入A\n);b=input(请输入b\n);x0=input(请输入初值μ\n);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);M=D\(L+U);x=M*x0+D\b;n=1; if max(abs(eig(M)))1 while norm(x-x0)=0.000001 x0=x; x=M*x0+D\b; n=n+1; end disp(迭代次数为) n disp(解为) xelse disp(雅各比迭代不收敛) returnendGauss-Seidel迭代法解题思路：缩写为 算法：clearA=input(请输入A\n);b=input(请输入b\n);x0=input(请输入初值μ\n);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);M=(D-L)\U;x=M*x0+(D-L)\b;n=1; if max(abs(eig(M)))1 while norm(x-x0)=0.000001 x0=x; x=M*x0+(D-L)\b; n=n+1; end disp(迭代次数为) n disp(解为) xelse disp(高斯-赛德尔迭代不收敛) returnend计算结果用雅各比迭代法和高斯-赛德尔迭代法分别解线性方程组则，，取，输入程序，迭代结果见图1。 图1用雅各比迭代法迭代14次得,用高斯-赛德尔迭代法迭代9次得，两种方法都可以近似得到准确解。显然，用高斯-赛德尔迭代法的迭代次数比雅各比迭代法少，也就是说高斯-赛德尔迭代法比雅各比迭代法收敛快。这个结论在多数情况下是成立的，不过存在这样的方程组，用雅各比迭代法收敛而用高斯-赛德尔迭代法却发散。三、参考文献[1]曹德欣 曹璎珞，《计算方法》（第二版），中国矿业大学出版社，2001。[2]同济大学数学系，《工程数学 线性代数》（第五版），高等教育出版社，2007。