均值不等式和柯西不等式.docVIP

武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 孙嘉钰 授课教师 杨鹏 授课时间 5-5 授课题目 不等式（二） 课 型 复习 使用教具 讲义、白纸 教学目标 灵活的运用均值不等式和柯西不等式求最值 教学重点和难点 重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题 参考教材 网资 教学流程及授课详案 柯西不等式和均值不等式 1、柯西不等式： 二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立. 三维形式的柯西不等式： 一般形式的柯西不等式： 2、均值不等式及使用条件： 均值不等式，若，则 （1）是正数； （2）和（）或（）为定值； （3）当且仅当时，取等号。 在运用均值不等式解题时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件。但有的题目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性转化、变形，才能求得正确的最值。 二例题： 柯西不等式向量求最值 1、设，试求的最大值与最小值。 答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15，最小值为–15。 2、设，试求之最小值。 答案：考虑以下两组向量 = ( 2, –1, –2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式，就有 即 将代入其中，得 而有 故之最小值为4。 3、设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。 Ans： 4 设x，y，z ( R，2x ( 2y ( z ( 8 ( 0，则(x ( 1)2 ( (y ( 2)2 ( (z ( 3)2之最小值为　　　　　 解： 2x ( 2y ( z ( 8 ( 0　(　2(x ( 1) ( 2(y ( 2) ( (z ( 3) ( ( 9， 考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) [2(x ( 1) ( 2(y ( 2) ( (z ( 3)]2 ( [(x ( 1)2 ( (y ( 2) 2 ( (z ( 3) 2]．(22 ( 22 ( 12)(　(x ( 1)2 ( (y ( 2) 2 ( (z ( 3) 2 (( 9 5设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。 解： 　(　2x ( 3(y ( 1) ( z (( )， 考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 解析：　∴最小值 　　　 　　　∴　　　∴ 6 设a，b，c均为正数且a ( b ( c ( 9，则之最小值为　　　　　 解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ()(a ( b ( c)(　()．9 ( (2 ( 3 ( 4)2 ( 81 (　( ( 9 7、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。 解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 　　　∴，最小值为18 等号发生于 故 　　　∴　又 ∴ 2、均值不等式几种常见的方法 一、凑正值 例1 设x－1，求函数的最值。 分析：欲用均值不等式来解。因，则不满足“正”的条件，故需利用已知条件调整其符号。 解：因为，即，所以， 则 。 当且仅当，即时，y有最大值，且，y无最小值。 评注：（1）本题通过“凑”，利用条件将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件。否则就会出现，则的错误。（2）对于分式函数，常常等价转化为的形式再求最值。常用的转化方法有分离系数法、换元法等。 二、变定值 例2 求函数的最小值。 分析：因并非“定值”，故不能直接运用均值不等式，为此需对原式按拆（添）项重组。 解：原函数化为 因为 所以。 当且仅当即x=1，x=－1时，。 评注：通过拆（添）项，“变”也定值是本题求解的关键。对此要弄清以“谁”为“基准”（如本题中以为基准）来拆、添、配、凑，做到有的放矢。 例3 求函数的最大值。 分析：因定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式，为使其余因式与（）之和为定值，需以（）为准将拆成，这时就有定值。 解： 。 当且仅当，即时，。 评注：一般说，凑“和”为定值较难，它需要一定的技巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力。 三、找等号 例4 求函数的最小值。 错解：直接利用均值不等式，得 所以。 这种解法之所以错误，原因是，即取不到“等”的条件。 正解：原函数拆项，得 因为，当且仅当即时等号成立， 又因为 所以，当且仅当时取等