2011年高考数学难点、重点突破精讲精练专题五-函数的概念及其性质(教师版).doc

专题05函数的概念及其性质 【名师导航】 函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。 1、映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算； 2、定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新； 3、函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多； 4、函数的周期性在试题中往往不是直接给出的，考生要善于通过其他函数性质进行推理，将问题转化为较为明显的周期函数，再根据函数的周期性分析解决问题。 5、函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多。 【考纲知识梳理】 一、函数与映射的概念 函数 映射 两集合 设是两个非空数集 设是两个非空集合 对应关系 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。 如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。 名称 称为从集合到集合的一个函数 称为从集合到集合的一个映射 记法 ， 对应是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念 （1）函数的定义域、值域 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域 （2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系 （3）相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。 注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系） （4）函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。 （5）分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2 当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。 注：单调区间是定义域的子区间 二、函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M 存在x∈I，使得f(x)=M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x∈I，使得f(x)=M 结论 M为最大值 M为最小值 注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。 关于原点对称 注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称； 2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。 三、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0. 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 5、