多种圆锥曲线集锦.doc

圆锥曲线的习题集锦 圆与抛物线 [例] 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。 （Ⅰ）求r的取值范围 （Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。 解：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1） 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根 ∴即。解这个方程组得 . （II） 设四个交点的坐标分别为、、、。 则由（I）根据韦达定理有， 则 令，则 下面求的最大值。 方法1：由三次均值有： 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。 法2：设四个交点的坐标分别为、、、 则直线AC、BD的方程分别为 解得点P的坐标为。 设，由及（Ⅰ）得 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积 则将，代入上式，并令，等 ， ∴， 令得，或（舍去） 当时，；当时；当时， 故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 圆与椭圆 [例]已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a0）与x轴 的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. (1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标； （II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】 解法一： (Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°. (1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,有 (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上, (Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SB为直线的圆上,故. 显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为. 由 设点 故,从而. 亦即 由得 由,可得即 经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SO为直径的圆上,故. 显然,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为 由 设点,则有 故 由所直线SM的方程为 O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即. 故存在,使得O,M,S三点共线. 圆与双曲线 [例]已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交 于不同的两点，证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B， ∴，且， 设A、B， 则， ∵，且 ， . ∴ 的大小为. 【解法2】（Ⅰ）同解法1. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得 ① ② ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B， ∴，设A、B， 则， ∴，∴ 的大小为. （∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）. 四、抛物线与椭圆 [例] 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳ 由题设 当x2时，由①得 化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时 由①得 化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1 （Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，）， B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=. 当点P在上时，由②知 . ④w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当点P在上时，由③知 ⑤ 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为 （i）当k≤，