15构造的思想方法 (一).ppt

构造的思想方法 (一) 构造的思想方法 所谓构造的思想方法，就是指在对问题进行透彻地分析，对其实质进行深刻地了解的基础上，借助于逻辑分析或长期积累的经验，发挥高度的想象和创造性，将原来的问题从原来的模式转化为更能反映其本质特征的新模式的思想方法． 用构造的思想方法解题，其核心就是要发现深藏在问题表面形式后面的深层次的东西， 构造的思想方法 一、模型性构造 二、技巧性构造 一、模型性构造 (一)构造恒等式 (二)构造方程 (三)构造函数 (四)构造不等式 (五)构造数列 (六)构造复数 (七)构造几何模型 (八)构造解析模型 (九)构造物理模型 * * 构造恒等式 思路分析 待求值式实际上巳暗示我们，应设法构造一个恒等式，使之能利用已有的结论： 显然由巳知得(x-1)＋(y-1)＋(z-1)＝0 　因此(x-1)3＋(y-1)2+(z-1)3=3(x-1)(y-1)(z-1)． 由此得 原式=1 例2 有质量为12，22，32，…，402的砝码各一个．试证：可以将它们分成质量相等的两组，每组的砝码数也相等． 思路分析 如果盲目地去尝试，肯定不可取，观察并初步试探可以发现简单的等式 12＋42＋62+72=22＋32+52＋82． 由此进一步想到可构造出恒等式 x2+(x＋3)2＋(x＋5)2+(x＋6)2=(x+1)2+(x+2)2＋(x+4)2＋(x＋7)2． 于是可以将1，2，3，4，…，40除以8余数为1，4，6，7的为一组， 余数为2，3，5，0的为另一组，则可得满足条件的两组数字． 思考 请你将问题推广到一般的情况． (三)构造函数 例4 证明：对于任何自然数n≥3，在欧氏平面上存在一个n个点的集合，使得每一对点之间的距离是无理数，而且每三个点构成一个非退化的三角形有有理面积(第28届IMO)． 思路分析 初看此题似乎无法下手，但是当找到函数y=x2这个简单模型后，问题就迎刃而解了． 在y=x2上取点Pi(i，i2)(i=1，2， 3，…，n)． 当i≠j时， 再取抛物线上三个不同的点Pi、Pj、Pk，i、j、k∈｛1，2，…， 数 (四)构造不等式 求证：3z1-z2是实数 　思路分析 如果能想到只要证明(3z1-z2)2＞0，问题就豁然开朗了．下面设法由条件构造出与此有关的不等式． 由已知可变形得(3z1-z2)2=-(z1+2z2)2＞0(因为z1＋2z2是纯虚数)，故问题得证． (五)构造数列 　思路分析 这种类型的问题通常用数学归纳法来证．下面试用构造数列的方法求解． 所以｛xn｝是公差为零的等差数列．于是xn=x1=0．原恒等式获证 (六)构造复数 例7 已知sinA＋sin3A＋sin5A=a，cosA＋cos3A＋cos5A＝b． (2)(1+2cos2A)2=a2＋b2． 思路分析 巳知条件构成三角对偶形式，可构造复数z=cosA＋ 当1＋2cos2A＞0时，复数b＋ai的辐角为3A，故当b≠0 当1＋2cos2A＜0时，复数b＋ai的辐角为π＋3A，故当b≠0 故 (1＋2cos2A)2=a2＋b2．