二面角求法教学课件.docVIP

二面角求法 求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是这几年高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题. 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、、、例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1 是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=。 将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 . 在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos∠A1OC1= 例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE： EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起 到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连 接A1B、A1P. (Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值。 分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△ PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=。 2 垂面法 事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果. 例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别 为4、3、，求二面角的大小. 分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知 l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC. 分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=. 因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为. 分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()， 则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o. 3 面积法 如图1，设二面角C-BD-C1的大小为，则在Rt△COC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便. 例5 如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的余弦值 分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1， 则△A1B1C1≌△A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1= ，所以等腰△A1B1C1的面积为，又正△ABC的面积为. 设所求二面角的大小为，则cos=. 4延伸法 例. 如图10，设正三棱柱ABC-ABC各棱长均为α，D为CC1中点，求平面ABD与平面ABC所成二面角的度数。 分析与解? 由图，平面ABD与平面ABC只出现一个交点，故延长AD交AC延长线于F点，连BF，则BF为所求二面角的棱。 因CD=CD，则AC=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF中点E，连DE，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面角的平面角。 说明? 本题也可用射影法求二面角的度数。 ，又△CGH的面积为CH·CM. 又由余弦定理得GH=，所以CM=2，则在Rt△CMC1中，cos=. 在原图中，面A1B1C1与的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了. 面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法. 5.2 有关二面角的最值问题 求最值是代数、三角、解几的“