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高等代数下半册复习 郭阳 2009.06.04 第一章 多项式 数域的定义：包括0与1的复数集合，对加、减、乘、除封闭。 Q、R、C 所有数域都包含有理数域作为它的一部分 第一章 多项式 系数在数域P中的一元多项式，称为数域P上的一元多项式 f(x)=g(x)：同次项系数全相等 零多项式：系数全为零 多项式的次数： 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法对加法的分配律、乘法消去律 数域P上的一元多项式环，P[x] 第一章 多项式 带余除法： 定理1 第一章 多项式 整除性的几个常用的性质 第一章 多项式 最大公因式: (满足如下两条) 1) d(x)是f(x)与g(x)的公因式 2) f(x), g(x)的公因式全是d(x)的因式 两个零多项式的最大公因式是0 引理 第一章 多项式 定理2 两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的 (f(x), g(x)): 首项系数是1的那个最大公因式 第一章 多项式 辗转相除法 P(15) 互素(互质)： 若互素，则除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然 第一章 多项式 定理3 定理4 推论 第一章 多项式 p(x)称为不可约多项式：不能表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积 定理5 因式分解及唯一性定理 第一章 多项式 f(x)的k重因式： 定理6 推论1 推论2 推论3 第一章 多项式 余数定理 推论 k重根： 若(x-a)是f(x)的k重因式 定理9 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 线性变换的特征值与特征向量： A 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第七章 线性变换 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 线性变换的值域AV：线性变换作用在线空V上的全体像集合 线性变换的核：所有被变换成零向量的向量组成的集合 值域与核都是子空间 值域的维数称为线变的秩 核的维数称为线变的零度 值域的维数=线变的秩=线变在基下矩阵的秩 值域一组基的原像与核的一组基合起来就是V的一组基 线变的秩+线变的零度=线空的维数 有限维线空的线性变换，单射?满射 设 为V的一组基，则值域=L(A ,… A ) 线性变换的不变子空间： W是线空V的子空间，如果W中的向量在线变下仍在W中 如何判断或证明不变子空间 如何判定欧几里得空间？ 实数域R上的线空V，若定义了内积，满足 向量的长度： 向量的夹角： 三角不等式： 向量的正交或垂直： 基的度量矩阵： 设 则 其中A为基的度量矩阵， 不同基的度量矩阵是合同的 设基 的度量矩阵为A， 基 的度量矩阵为B， 且有 则有 正交向量组：一组非零向量，两两正交 正交向量组是线性无关的 标准正交基：单位的、两两正交的基 标准正交基下， 会用Schimidt正交化算法 (标正基II)=(标正基I)*正交矩阵 由标正基到标正基的过渡矩阵是正交矩阵 由标正基I及正交矩阵的过渡矩阵可得基II为标正基 正交矩阵的行列式等于1（第一类的）或-1（第二类的） 正交矩阵： 判断欧空V到欧空V’的同构？ 在标正基下，每个n维欧空都与 同构 两个有限维欧空，同构?同维 正交变换：线变基础上保持内积不变