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等积变换的运用 李国雄 （江西省全南第二中学 341800） 等积变换是指在解某些几何问题时，通过几何图形的面积相等，相互间进行转换，从而使问题得到解决，这种方法也称面积法，在初中数学中非常重要，为了说明其重要性，下面选取几例，供读者参考。 例1：如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=8，BC=6，求CD的长。 解：在Rt△ABC中， ∵AC=8 BC=6 ∴AB= = =10 ∵S△ABC=AC·BC =AB·CD ∴×8×6=×10×CD ∴CD=4.8 例2：如图，直角三角形ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC上的一动点(不和A、C重合），PD⊥° AC=4 BC=3 ∴AB=5 ∵S△ABC=S△PCB+S△APB BC·AC=×BC×CP+AB·PD 3×4=3x+5y 5y=12-3x y= ∴所求的解析式为y= 评析：上述两例，都利用了同一个三角形的面积相等，比用勾股定理、三角形相似等知识来进行解答，显得既方便又快捷。 例3：如图，C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，圆的半径为R，求图中阴影部分的面积。 解：连接OC、OD ∵C、D是 ∴AC=CD=BD ∴CD∥AB ∴△ACD和△OCD中，CD边上的高相等 即S△ACD=S△OCD S阴=S扇= = 例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AC⊥BD于O，AC=8，求AB+CD的长。 解：作CF∥BD交AB的延长线于F ∵CF∥BD AB∥CD ∴CF=BD CD=BF 作CE⊥AB于E 在△ACD和△CBF中， CD=BF且高都是CE ∴S△ACD=S△CBF ∴S梯形ABCD=AC·BD =×8×8 =32 ∴S△ACF=S梯形ABCD=32 又∵CF∥BD AC⊥BD ∴∠ACF=90° ∵AC=BD ∴△ACF为等腰直角三角形 设CE=a 则AF=2a S△ACF=AF·CE=32 即 a×2a=32 a2=32 a= AF=2a= ∴AB+CD=AB+BF=AF= 评析：=5 ∵S菱形=AC·BD=AD·BE 即 ×8×6=5BE 评析：如图，已知M是梯形ABCD一腰CD上的中点，AD∥BC，MN⊥AB于N，求证：S梯形ABCD=AB·MN ∴△AMD≌△EMC（ASA） =2×AB·MN =AB·MN 评析：本例应用等积变换把梯形的面积转化为三角形的面积，从而得以证明。 例7：如图，△ABC的面积为a，BC=5BD，AB=4BE，求S△BDE。 解：连结AD ∵BD=BC △ABD的高和△ABC的高相同 ∴S△ABD=S△ABC 又∵BE=AB △BDE和△ABD的高相同 ∴S△BDE=S△ABD ∴S△BDE=×S△ABC =a 评析：利用 1 C B D A C B D A P A B C D O E F A C D B O E B C E M D A N B C A D E A B D C O A B C