数字信号与图像处理 第四章.pptVIP

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第四章 采样定理 周期信号的傅里叶变换 傅里叶级数三角形式:对于周期为 ,满足狄里克莱条件: (1)同一个周期 内间断点个数有限:(除有限个点以外连续。 (2)同一周期内极大值和极小值数量有限 (3)同一周期内绝对可积,即 的周期函数 可展成三角形式的傅里叶级数 其中, 为角频率,直流分量(信号的平均值)为: 次谐波的余弦分量为 次谐波的正弦分量为: 称 和 统称为三角形式的傅里叶系数。 称 为信号的基波或基频(对应的角频 率就是 ),而 为信号的 次谐波,基波也称为一次谐波。 复指数形式的傅里叶级数 从三角形式的傅里叶级数出发,有: 其中 统一形式: 注:傅里叶基函数 是 上的一组完备的正交基。因为 如果 ,则 。如果 ,则 即 。 傅里叶级数的性质 线性:若 的傅里叶级数为 , 的傅里叶级数为 ,则 。 微分性质:若 的傅里叶级数为 ,则 的傅里叶级数为 。 移位性质:若 的傅里叶级数为 ,则 的傅里叶级数为 。 时域卷积定理:若 的傅里叶级数为 , 的傅里叶级数为 ,则 与 的周期卷积 的傅里叶级数 。 证明: 频域卷积性质:若 的傅里叶级数为 , 的傅里叶级数为 ,则 的傅里叶变换 。 证明: 实函数的对称性:若 是实函数,则其傅里叶级数系数 满足 。 尺度性质:若 的傅里叶级数为 ,则 其中 的傅里叶级数仍然为 。 Parseval定理:若 的傅里叶级数为 , 则有 例1 求信号 的傅里叶级数。 解:把 展成复指数形式有: 将相应项合并后得: 由此可得各系数为: , , , , 其余 , 。 例2 求周期方波信号的傅里叶级数,在一个周期内定义如下: 解:在傅里叶级数系数公式中取积分区间为 ,对 ,有 ;对 有 , 例3 一个LTI系统的冲激响应为 ,对下列每个输入,求输出 的傅里叶级数表示式: (1) (2) (3) 解:由于任意复指数函数都是LTI系统的特征函数,所以 其中 就是对应于复指数函数 的特征值,即 对于单位脉冲响应 ,其傅里叶 级数为 (1)当输入 ,因为 , ,所以其 傅里叶级数 ,其余 。 所以输出 的傅里叶级数 为 其余 。

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