数字信号与图像处理 第四章.pptVIP

第四章 采样定理 周期信号的傅里叶变换 傅里叶级数三角形式：对于周期为 ，满足狄里克莱条件： （1）同一个周期 内间断点个数有限：（除有限个点以外连续。 （2）同一周期内极大值和极小值数量有限 （3）同一周期内绝对可积，即 的周期函数 可展成三角形式的傅里叶级数 其中， 为角频率，直流分量（信号的平均值）为： 次谐波的余弦分量为 次谐波的正弦分量为： 称 和 统称为三角形式的傅里叶系数。 称 为信号的基波或基频（对应的角频 率就是 ），而 为信号的 次谐波，基波也称为一次谐波。 复指数形式的傅里叶级数 从三角形式的傅里叶级数出发，有： 其中 统一形式： 注：傅里叶基函数 是 上的一组完备的正交基。因为 如果 ，则 。如果 ，则 即 。 傅里叶级数的性质 线性：若 的傅里叶级数为 ， 的傅里叶级数为 ，则 。 微分性质：若 的傅里叶级数为 ，则 的傅里叶级数为 。 移位性质：若 的傅里叶级数为 ，则 的傅里叶级数为 。 时域卷积定理：若 的傅里叶级数为 ， 的傅里叶级数为 ，则 与 的周期卷积 的傅里叶级数 。 证明： 频域卷积性质：若 的傅里叶级数为 ， 的傅里叶级数为 ，则 的傅里叶变换 。 证明： 实函数的对称性：若 是实函数，则其傅里叶级数系数 满足 。 尺度性质：若 的傅里叶级数为 ，则 其中 的傅里叶级数仍然为 。 Parseval定理：若 的傅里叶级数为 ， 则有 例1 求信号 的傅里叶级数。 解：把 展成复指数形式有： 将相应项合并后得： 由此可得各系数为： ， ， ， ， 其余 ， 。 例2 求周期方波信号的傅里叶级数，在一个周期内定义如下： 解：在傅里叶级数系数公式中取积分区间为 ，对 ，有 ；对 有 ， 例3 一个LTI系统的冲激响应为 ，对下列每个输入，求输出 的傅里叶级数表示式： （1） （2） （3） 解：由于任意复指数函数都是LTI系统的特征函数，所以 其中 就是对应于复指数函数 的特征值，即 对于单位脉冲响应 ，其傅里叶 级数为 （1）当输入 ，因为 ， ，所以其 傅里叶级数 ，其余 。 所以输出 的傅里叶级数 为 其余 。