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向量方法在平面几何“三角”中的应用 这是一个值得思考的问题。 教材上2.5节为何不增加一个用向量研究“三角”的例题？而2.5 节练习题6、7均为“三角”问题。笔者在研究中发现，2.5 节6、7题是为3.1节用向量方法推导“”作准备的。因此，在2.5节教学中应该让学生掌握向量在“三角”中应用的基本思想方法。否则，3.1节将出现二个难点，多个重点，学生一定是被动的。这也说明了系统研究“向量的应用”非常重要。只有系统认识和研究“向量的应用”才会深入研究和发展每一个例题、每一个习题的功能。 例如2.5节例2：已知：，求证： “例2”可以看成一个研究垂心的几何题： 求证： 又如2.5节习题7，其本质问题是证明 已知向量、、，满足 且 求证：是正三角形。这一问题实质是联想向量的数量积，证 其思路为：将两边平分即得 通过上面将例2方法伸展研究范围、研究领域的教学，学生学会了例2的证明，更重要的是学会了用向量数量积研究角的方法。即向量在三角中的应用的方法，由此，学生在以后学习3.1节中，的推导等问题时，向量方法的应用更为亲切自然，不会有从天而降的感觉，真正体现新教材（课程）更好地培养学生综合运用知识的能力这一理念。如此系统认识，也体现教材中向量方法在三角中应用的精心处理是“螺旋上升”的。 正确认识选修教材（2－1）空间向量应用的要求，可改进必修教材中“立体几何初步”的教学。 选修教材在3.2节介绍了用向量方法研究立体几何中的“线线垂直”、“线面垂直”、“线线角计算”、“线面角计算”（包括线面平行）、“两两角计算”等五类问题。向量方法避免了传统方法中添设辅助线（面）的困难，学生可以通过有序的运算来完成问题，求解方法新颖，强化了相关数学分？的联系，培养了综合应用的能力。 深刻领会选修教材中空间向量的教学思想，将改进我们必修教材中“立体几何初步”的教学。因为，“深刻领会”选修要求，可以使我们系统地认识必修教材的编排意图、必修教材的教学要求。由于选修中“空间向量的应用”中用向量方法较好地替代了传统教材上立体几何五类问题的求解方法。因此，在必修教材立体几何初步的教学中要按照新教材的要求，新教材的思想，领会教学目标，设计教学过程，切不可“补充”传统方法，该费掉的传统武功要费掉，否则将增加学生负担，教学时间浪费，教学内容更“偏离”课标航线，基础没有打好，方法也没有掌握（退一步，学生学会了你补充的传统方法，也是纸上谈兵，耗费时间，又作用很小，因为选修教材上学生将重点学习如何用空间向量方法解决立几中的五类问题）。例如选修3.2.3 例3：在正方体中，求二面角的大小。 教材上介绍二种方法。方法一，作出了二面角的平面角，然而有向量方法计算出结果。方法一几何直观性强，学生较容易理解。方法二，免去了作“”的平面角的过程（这正是传统方法中的难点），借助“向量”，数形的完美转化使求解过程“代数化”。教材为什么设计二个解法？方法二为什么更具有普遍应用的价值？等等这些问题要深入研究。等候教材2－1第三章的‘引语’“数学是智能的一种形式。利用这种形式，我们可以把现实世界中的种种现象，置之数量概念的控制之下“（霍维逊），值得我们深思。女数学家索菲亚·热尔梅所说：代数不过是写出来的几何，几何不过是画出来的代数。因而用向量方法研究立体几何问题是新教材的一个亮点。 系统认识“向量的应用”，就是要求我们首先从整体的角度（比修、选修）来研究教学要求，而不是仅仅是研究“一节”内容、“一章”内容、“一本书”内容，其次要求我们研究“向量方法”的价值，不仅仅停留在“三角”中应用、“解几”中应用、“立几中应用”，要研究有没有真正意义上的减轻学生负担，提高学生能力，有没有真正意义上的培养学生综合应用知识的能力，有没有真正意义上的体现“二个方式”的转变。