人大附中2018年4月月考几何综合题解析.docxVIP

人大附中2018年4月月考几何综合题解析【题目】四边形ABCD是正方形，PA过点A的直线，作DE⊥PA，垂足为E，将射线DE绕点D逆时针旋转45°，得到的射线与直线PA交于点F，连接CF.（1）如图1，当∠PAD=45°时，点F与点A恰好重合，则EF/CF的值为 .（2）如图2，当45°＜∠PAD＜90°时， ①依题意补全图形；②探究线段AF，CF与EF之间的数量关系，并证明.若AB=2，当△CDF的面积最大时，直接写出此时△DEF的面积.【读题】此题是正方形背景中涉及到的线段45°旋转问题，读题过程中需要在记忆中检索与此相关的几何模型，比如等腰三角形的构造问题；对于涉及到的三条线段的数量关系，需要思考是一次关系还是二次关系；最后一问面积最值问题，需要结合图形才能更好地进行分析。读题过程中，需要充分获取题干中的信息，最为重要也最为根本是不能对某些关键词“视而不见”，因为没有注意到某些关键词而导致的解题混乱是“令人发指”的！【分析】（1）送分题，非常简单，可以是相似应用，可以是赋值计算。（2）分为两个小问题。①，补全图形是基本功，补全了就能得分，这也是送分题；如下图3所示。②题干要求“探究线段AF，CF与EF之间的数量关系，并证明.”首先需要确定分析方向，即初步判断是一次关系，还是二次关系。可凭借“几何直观”进行粗略的分析，大胆假设小心求证；或者，也可以采取一种“朴素”的办法——测量。这是一个不断尝试和调整的过程。经过分析，可以CF＋AF =2EF，然后再进行严谨细致的求证。当然，这个分析过程，也可以是一边根据经验作出相应的图形，一边进行分析。下面给出三种不同的分析思路。思路一：双等腰直角三角形经典模型如图4所示，过点D作DG⊥DF交FC的延长线于点G，连接AC，则由∠EFD=∠ACD可知点F在正方形ABCD的外接圆上，可得∠DAF=∠DCG，于是可证得△ADF≌△CDG（SAS），AF=CG，DF=DG。取FG的中点H，可得四边形DEFH为正方形，于是可得AF+FC=CG+FC=2FH=2EF。当然，也可以借助等腰直角△DFG和△DEF斜边与直角边的关系相同的结论。思路二：旋转相似如图5所示，在直线AP上截取FG=FC。因为∠EFD=∠ACD，可知点F在正方形ABCD的外接圆上，∠AFC=90°，于是可得△CFG为等腰直角三角形，∠FCG=45°。可得∠ACG=∠DCF，∠CAG=∠CDF（弧CF所对圆周角相等），证得△CAG∽CDF。此处也可通过SAS证得三角形相似。思路三：截长补短经典构造如图所示过点D作DF的垂线，与直线AP交于点G，通过证明△DCF≌△DAG，CF=AG，△DFG为等腰直角三角形，也可以证得结论成立。上述三种思路，涉及到的都是常见的几何模型，其中思路三是标准答案提供的方法。（3）若AB=2，当△CDF的面积最大时，直接写出此时△DEF的面积。几何最值考查，属于几何综合题中难度较大的一个类型。通过上一问的分析，可知点F在正方形ABCD的外接圆上，△CDF的底边CD为定值，因此当△CDF的面积最大时，点F在距离CD最远的位置，取CD中点为Q，外接圆圆心为O，分析可知直线OG与AP的交点即为外接圆与直线AP的交点，此时△CDF面积最大。于是，在Rt△FDQ中，【标准答案】（1）1/2；?????????? ??????…………1分（2）① 如右图补全图形；? …………2分②?2EF=CF+AF；?????…………3分证明如下：过点D作DF的垂线，与直线AP交于点G；∴∠GDF=90°.∵DE⊥AP，∴∠DEF=90°，∵由旋转，∠EDF=45°，∴∠EFD=90°－∠EDF=45°，∴∠G=90°－∠EFD=45°=∠EFD，∴GD=DF，①???????? …………4分∵正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠ADF＋∠CDF=90°，∵∠GDF=∠ADF＋∠GDA=90°，∴∠CDF=∠GDA，②∵AD=DC，③∴由①，②，③得△ADG≌△CDF（SAS），∴AG=CF，?????????? …………5分∵GD=DF，DE⊥GF，∴由三线合一，GF=2EF，∴CF＋AF=GA＋AF=GF=2EF.??…………6分（用三角函数表示的答案不给分）【反思】1.等腰三角形、正方形涉及到的常见的旋转类型是几何模型中的核心模型，考生需要在复习过程中总结这些模型，并通过进一步的实践检验自己的总结是否全面，以期达到运用自如的地步。（2）中的思路一涉及到的模型，在海淀近几年的各类考试中时有涉及，需要引起重视。2.几何最值属于综合试题中难度较大的一类，虽然近几年的中考中没有考查过类似的应用，但是在各城区的中考一模、二模中都有体现，希望获得高分满分的考生需要对常见的最值模型进行系统、全面的总结，不然，类型稍有变化，