第6章 第7节数学归纳法(理).pptVIP

第7节　数学归纳法(理);导航考点目标 ;;数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述方法叫做数学归纳法．;解析：当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C. 答案：C;答案：C;3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(　　) A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确 B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确 C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确 D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确 解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1，故选B. 答案：B; 4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析：对凸k边形，增加一条边变成凸k＋1边形，内角和增加了π. ∴f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案：π;解析：左边分母的规律是1,2,3，… 当n＝k时，右端最后一项的分母为2k－1(k1)， 当n＝k＋1时，左端最后一项的分母为2k＋1－1 ∴增加的项数为2k＋1－1－(2k－1)＝2k. 答案：2k项;;用数学归纳法证明等式; [规律方法]………………………………………………?? 用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．;用数学归纳法证明不等式; [规律方法]………………………………………………?? 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等．; (2012·大纲卷，22)函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))???直线PQn与x轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3； (2)求数列{xn}的通项公式． ; [规律方法]………………………………………………?? 用数学归纳法证明数列中的不等式要注意运用递推式沟通相邻项才能用上假设．;; 归纳、猜想与证明; (2012·湖北高考，22)(1)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x0)，其中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值； (2)试用(1)的结果证明如下命题： 设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数．若b1＋b2＝1，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)′＝αxα－1. ; 解析：(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)， 令f′(x)＝0，解得x＝1. 当0x1时，f′(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当x1时，f′(x)0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.;(3)(2)中命题的推广形式为： 设a1，a2，…，an为非负实数，b1，b2，…，bn为正有理数． 若b1＋b2＋…＋bn＝1，则ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.　 ③ 用数学归纳法证明如下： (1)当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，③成立． (2)假设当n＝k时，③成立，即若a1，a2，…，ak为非负实数，b1，b2，…，bk为正有理数．;;