薛定谔方程对氢原子的应用.docVIP

薛定谔方程对氢原子的应用 （一）氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与前一节有两点不同： （1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t）应换成ψ（x,y,z,t）或ψ（r,t）,而应换成▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符． （16.4.1） （2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能Ep表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下((，见〔附录16D〕． （16.4.2） *（二）氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r,t）分离为空间部分u（r）和时间部分f（t），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E〕． ψ（r,t）=u（r）f（t）， f（t）=C （16.4.3） 氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕核转动．其电势能可表成Ep=－e2/4πε0r．此势能Ep只与电子至氢核的距离r有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a）,O表氢核，e表电子，r为e至O的距离．θ为r与z轴的夹角，θ称天顶角或极角．为r在xOy平面的投影与x轴的夹角．故有 x=rsinθcos； y=rsinθsin； z=rcosθ （16.4.6） 拉氏算符改用球坐标（r,θ,）表示如下：(( (16.4.7) 将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程． *（三）氢原子薛定谔方程的定态解(( 上述用球坐标表示的氢原子薛定谔方程（16.4.4）与（16.4.7）中，其空间波函数u（r,θ,）,可按（16.4.3）式所述分离变数法，分离成三个部分如下： u（r,θ,）=R（r）H（θ）（）=R（r）Y（θ,）（16.4.8） Y（θ,）=H（θ）（） （16.4.9） R（r）是波函数中只含有径向距离r变量的部分，可简称为径向波函数．H（θ）是波函数中只含有天顶角θ变量的部分，可简称为天顶角波函数．（）是波函数中只含有方位角变量的部分，可简称为方位角波函数．Y（θ,）是H（θ）与（）的乘积，可称为角度波函数． 将（16.4.8）式的u（r,θ, ）代入（16.4.4）式，便可将一个偏微分方程（16.4.4）分解成三个常微分方程，列举如下： （16.4.10） H=0 （16.4.11） （16.4.12） 前一节分析一维运动自由粒子时，它的空间波函数u（x）只含一个变量x，从它的一个常微分方程（16.3.10）求解u（x）时，在（16.3.17）式中出现一个量子数n. 现在分析氢原子电子的三维运动，它的空间波函数u（r,θ,）含有三个变量．从上述三个常微分方程（16.4.10）至（16.4.12）求解R（r）、H（θ）、（）时，出现三个量子数，即主量子数n、角量子数（或称副量子数）l、磁量子数ml，列举如下： 〔主量子数〕n=1,2,3,…… （16.4.13） 〔角量子数〕l=0,1,2,……,n-1. λl=l（l+1） （16.4.14） 〔磁量子数〕ml=0,±1,±2,……±l （16.4.15） 这些量子数的意义，在本节的下文逐步加以说明． 求解波函数的R（r）、H（θ）、（）部分相当麻烦，这里只把量子数较小的几个式子列出．其中Rnl（r）表示主量子数为n、角量子数为l的径向波函数R（r），而Ylm（θ,）表示角量数为l、磁量子数为ml的角度波函数Y（θ,）． 〔径向波函数Rnl（r）举例〕 n=1， l=0，（1s态，即基态）， R10（r）= （16.4.16） n=2， l=0，（2s态）， R20（r）= （16.4.17） n=2， l=1，（2p态）， R21（r）= （16.4.18） 上式中a=r1=5.29×10－11米，就是（15.5.5）式所说的玻尔第一半径． 〔角度波函数Ylm（θ,）举例〕 l=0（s态）， ml=0， Y00（θ,）= （16.4.19） l=1（p态）， ml=0， Y10（θ,）= （16.4.20） l=1（p态）， ml=1或－1， （16.4.21） 为了形象化地说明原子内电子的状态，1916年柯塞耳提出壳层分布的模型．如（表16.4b）所示，主量子数为n=1,2,3，…