数学建模与数学实验第六讲§3.ppt

* 在生产设备或仪器中处于长期运行的易损零部件, 如轴承, 电器元件等会突然发生故障或损坏, 即使及时更换也已经造成了一定的经济损失。 如果考虑在零件运行一段时间后, 就对尚属正常的零件做预防性更换, 以避免因零件突然故障造成更大的损失。从经济上分析这种更换是否划算?做这种预防性更换的时间如何确定? 这是一类生产管理中的普遍性问题, 解决这个问题的关键是恰当地估计零件能够正常运行的时间, 简称为零件的寿命。显然零件的寿命是随机的变量, 需要通过试验数据的统计理论分析确定零件寿命的概率分布规律, 即分布函数、概率密度函数、平均寿命等数字特征。 §3 零件的定期更换问题 先介绍可靠性数学中的简单概念和几个常见的连续型寿命分布, 再来讨论零件的预防性更换问题。 可靠度和失效率 随机变量X表示零件的寿命, 其分布函数 F(t)=P(X≤t)= 其概率密度函数记为f(t), 而由概率知识知f(t)= , 寿命 大于t的概率记为R(t), 即 R(t)=P(Xt)=1-F(t) 称为零件的可靠度, 显然R(0)=1, R(∞)=0。零件的平均寿命即X的数学期望为 表示零件寿命不超过时间t(即在时刻t之前失效)的概率。 由于 所以又有 设零件运行到时刻t仍正常, 而在[t, t+Δt]内失效的概率为 我们称 为零件的失效率, 这是一个条件概率密度。在实际应用中让N个零件同时运行, 记n(t)为时刻 t之前失效的零件个数, Δn(t)为此时之后一个单位内零件失效的个数, 则 典型的失效率曲线呈浴盆形状, 俗称浴盆曲线, 见图 Ⅱ Ⅲ Ⅰ o r(t) t 失效率的变化分三个阶段: Ⅰ早期失效阶段, 在出厂前用强制老化的手段可以剔除一批这样的不合格品; Ⅱ 偶然失效阶段, 此时 r(t)基本不变, 是零件的最佳使用期; Ⅲ 老化失效阶段, 因磨损老化等原因使失效率迅速上升, 应采取维修更换等手段, 保证设备正常运行。 常见的寿命分布 1.指数分布 设失效率r(t)为常数λ, 即失效率为时间的线性函数, 当零件正常运行到时刻t后, 在[t, t+Δt]内失效的概率为 λΔt, 而与 t无关, 则由r(t)=λ可得 由初试条件F(0)=0得微分方程的解为 此时称零件寿命X服从指数分布。指数分布最重要的性质是“无记忆性”, 即当零件正常运行到时刻t后, 还能够正常运行到时刻τ, 其仍服从相同的指数分布, 事实上 在典型失效率曲线第Ⅱ阶段, 零件寿命基本服从指数分布. 也就是 由以上结果, 易得指数分布的概率密度, 可靠度和平均寿命分别为 f (t)=λe-λt, R(t)= e-λt , EX=1/λ 2.Γ分布 若随机变量X的概率密度函数为 称X服从参数α,λ为的Γ分布, 记作Γ(α,λ), 其中α称为形状参数, λ称为尺度参数, Γ(α)是Γ函数, 即 它是阶乘的推广, 有如下一些性质 Γ(α+1) =αΓ(α) , Γ(1)=1, Γ(n+1)=n!, 显然, α=1时, Γ分布就是指数分布。 Γ分布的失效率为 Γ(α,λ)分布的平均寿命为 3.威布尔(Weibull)分布 若随机变量X的概率密度函数为 则称X服从参数为的威布尔分布, 记为W (α,λ), 其中 α称为形状参数, λ称为尺度参数, 当α =1时也为指数分布, 威布尔分布的可靠度, 失效率和平均寿命分别为 预防性更换策略 某零件的寿命X的分布为F(t), 平均寿命为μ, 若零件发生故障后更换所带来的损失为c1, 未发生故障而采取预防性更换的费用为c2, 显然有c1c2。预防性更换策略是指, 确定一个时间T, 当XT 时进行故障后更换, 当X=T 仍能正常运行时进行预防性更换(假定更换所用时间忽略, 也可以考虑将损失记在c1, c2中), 使得长期运行时的经济损失最小。 这是一个随机性优化模型, 目标函数取单位时间的平均损失, 零件每更换一次称为一个周期, 则周期的平均长度为 一个周期内的平均损失为 单位时间的平均损失定义为 用求极值的方法令 需要讨论上式在什么条件下有解以及怎样求解。记 显然h(0)=0, 又因平均寿命 , h(∞)=μr(∞)-1 并且 用h(0), h(∞)和 (※※※) 的结果考察(※※※)式得 可求出上式极小值点T满足 *