数学分析华东师大第四版16章_多元函数的极限与连续.ppt

多元函数微积分学 多元函数 一元函数 ，自变量只有一个； 多元(n元)函数 ， 自变量有n个( ) 多元函数的例子 1.圆的面积与椭圆的面积； 2.正方形的面积与长方形的面积 二元函数 我们这节课将讨论二元函数。有关的概念、理论与方法可以平行地推广到一般的多元函数上去。 二元函数的定义域 一元函数的定义域是实数轴上的点集； 二元函数的定义域是坐标平面上的点集. 坐标平面与平面点集 在平面上确定了一个直角坐标系之后，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就建立了一一对应。确定了直角坐标系的平面，称为坐标平面； 在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，记作 平面点集的例子 二元函数的定义 求二元函数的定义域与值域 中邻域的概念 中邻域的概念 内点、外点与边界点的概念 内点、外点与边界点的概念 1. 点集E的内点一定属于E; 2. 点集E的外点一定不属于E; 3. 点集E的边界点有可能属于E, 也有可能不属于E 聚点与孤立点的概念 开集与闭集，开区域与闭区域 1. 若平面点集E中每一点都是E的内点，则称E为开集. 2. 若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集. 3. 非空的连通开集称为开区域. 4. 开区域连同其边界构成的点集称为闭区域. 若集合E中任意两点之间都可以用属于E的折线连接起来，则称E为连通集! 既开又闭的平面点集 规定 和空集既是开集又是闭集. 点集的直径，有界集与无界集 完备性定理 一元函数极限理论的基础是实数理论，即反映实数系完备性的六个等价定理。 这些定理可以推广到 ，它们是二元函数极限理论的基础。 平面点列的收敛性 Cauchy收敛准则 闭区域套定理 聚点定理 Bolzano-Weierstrass定理 有限覆盖定理 n元函数的定义 n元函数的定义 极限理论 二元函数的极限 例题 按照极限的定义证明 证明 注意 例题 证明 二元函数的极限 类似地，我们可以定义其它类型的极限 二元函数的极限的特点 二元函数的极限与一元函数的极限的区别。 例题 证明 例题 证明 二元函数的极限为无穷大 二元函数的极限为无穷大 类似地，我们可以定义其它类型的极限 例题 按照定义很容易能够证明 二元函数极限的性质与运算 二元函数极限的性质与运算 和一元函数的情形类似， 如极限值的唯一性，四则运算法则， 两边夹定理等等。 累次极限 累次极限 累次极限 二重极限与累次极限的关系 二重极限与累次极限是两个不同的概念，一般来说，它们的存在性没有彼此蕴含的关系。 二重极限与累次极限的关系 函数的两个累次极限都存在，但是二重极限却不存在的例子： 证明 二重极限与累次极限的关系 函数的两个累次极限都存在，但是二重极限却不存在的另一例子： 证明 二重极限与累次极限的关系 函数的二重极限存在，但是两个累次极限都不存在的例子： 证明 二重极限与累次极限的关系 函数的二重极限存在，但是两个累次极限都不存在的另一例子： 证明 二重极限与累次极限的关系 二重极限与累次极限的联系 定理 证明 推论1 推论1 推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件。 推论2 推论2 推论2可以用来否定二重极限的存在性。 例题 例题 二元函数的连续性 不连续点 二元连续函数 孤立点一定是连续点！ 若f在D上任何点处都连续，则称f为D上的连续函数。 连续函数的例子 连续函数的例子 连续函数的例子 二元连续函数的性质 与一元连续函数的情形一样，二元连续函数也有局部有界性，局部保号性，四则运算的性质，复合函数的连续性等等，其证明过程相同。 全增量与偏增量 全增量与偏增量 全增量与偏增量 二元连续函数 反例 二元函数的连续性 定理 证明 二元函数的连续性 定理 有界闭区域上连续函数的性质 有界闭区域上二元连续函数的性质可以视为闭区间上一元连续函数性质的推广。 有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理 有界函数的定义 有界闭区域的例子 有界闭区域上连续函数的性质 最大最小值定理 有界闭区域上连续函数的性质 一致连续性定理 有界闭区域上连续函数的性质 介值性定理 有界闭区域上连续函数的性质 根的存在性定理 * *