数值计算方法课件 第3章 线性方程组的解法.pptx

第3章 线性方程组的解法;3.1 问题综述; 2、迭代法：就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法具有需要计算机的存贮单元较少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算机中始终不变等优点，但存在收敛性和收敛速度等问题。 迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。 ;3.2 线性方程组的直接解法;Gauss消去法;例1 用消去法解方程组;解 (1) 化上三角方程组;① ② ⑤;对应的增广矩阵的变化;1.基本思想;2.算法构造;定义：在使用高斯消去法的过程中，仅对方程组做倍加变换，就形成了顺序高斯消去法。;定理: 顺序高斯消去法的前 n -1 个主元素 均不为零的充要条件是方程组的系数矩阵A的前n -1个顺序主子式; 顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况;?顺序主元素消去法可能计算失败之例;例： 在四位十进制的限制下，试用顺序Gauss消去法求解如下方程组;解 用顺序Gauss消去法求解，消元过程如下;经回代求解得 x3＝5.546，x2＝100.0，x1＝－104.0;;求得方程的解为：x3＝5.546，x2＝－45.76，x1＝17.46;3.列主元高斯消去法;(3)对于 i = k +1,k +2,…,n 计算 ;?评论：列主元素消去法，所需条件较少，仅仅要求方程组的系数矩阵 A 非奇异。 而且，对一般的方程组，它还具有良好的数值稳定性，其计算量与顺序消去法的计算量相当。;3.3 矩阵的直接分解法;这时; 从顺序Gauss消去法的矩阵运算表示式可知，系数矩阵A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即;定义 A = LU 叫做 A 的三角分解。 L，U 是下、上三角阵. 若 L 是单位下三角矩阵， U 是上三角矩阵，则 A =LU 叫 A 的Doolittle 分解； 若 L 是下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵， A =LU 叫 A 的 Crout 分解。;对于;对于;可以看出对于方程组： ;以Doolittle（杜利特尔）分解为例;例： 利用Doolittle三角分解法分解矩阵;如果我们要求解方程组;由;解：设 ;练习1：利用Doolittle三角分解方法解线性方程;得到;练习2：利用Doolittle三角分解方法解线性方程组;;;2.列主元三角分解法;(1)进行第 k 步分解， 先寻找主元素，计算中间量;(2) 再按公式进行第 k 步的D-分解运算。;例：用选主元的杜利脱尔（Doolittle）分解解方程组;;等价的三角方程组为：;3.4 特殊线性方程组解法;并且满足;根据矩阵乘法及矩阵相等的定义，有：;练习 试用“追赶法”求解线性代数方程组： ;2.改进的平方根法;3.6 线性方程组的迭代解法;具体做法 ;迭代格式：;2.雅可比迭代法;;;J;J;例： 用雅可比迭代法解线性方程组;3.高斯-赛德尔迭代法;Jacobi迭代;;建立Jacobi迭代格式如下 ;4.逐次超松弛迭代法;加入松弛因子ω ：;;5.迭代法的收敛性;2. Gauss-Seidel方法收敛的条件; （充分条件）若A 为严格对角占优阵 ，则解 的Jacobi 和 Gauss - Seidel 迭代法均收敛。;（1）列出求解该方程组的Jacobi迭代格式，并判别是否收敛； （2）列出求解该方程组的Gauss-Seidel迭代格式，并判别是否收敛； （3）取x(0)=(0,0,0)T，求Gauss-Seidel迭代法的前两次迭代值x(1) , x(2) .;考察系数矩阵A及2D-A;考察系数矩阵A; ;谢谢大家！