高阶方程降阶和幂级数解法.docVIP

§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 4.3.1 可降阶的一些方程类型 阶微分方程一般地可写为 下面讨论三类特殊方程的降阶问题： 1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状： （4.57） 若令，则方程即降为关于的阶方程 （4.58） 如果能够求得方程（4.58）的通解 即 再经过次积分得到 其中为任意常数。可以验证，这就是方程（4.57）的通解。 特别地，若二阶方程不显含（相当于，的情形）。则用变换便把方程化为一阶方程。 例1 求方程的解。 解 令，则方程化为 这是一阶方程，积分后得，即，于是 其中为任意常数，这就是原方程的通解。 2）不显含自变量的方程 （4.59） 我们指出，若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。 事实上，在所作假定下，，，，…，采用数学归纳法不难证明，可用表出（）。将这些表达式代入（4.59）就得到 这是关于的阶方程，比原方程（4.59）低一阶。 例2 求解方程。 解 令，直接计算可得，于是原方程化为得到或，积分后得，即，所以（），这就是原方程的通解。 例3 求数学摆的运动方程 满足初始条件：时，，的解。 解 令，则，这时，方程变为 积分之，得到 或者 （4.60） 这里是任意常数。用初始条件代入（4.60），得到。于 是（4.60）变为 将上式开方得到 （4.61） 我们先讨论摆从最大的正偏离角到最大的负偏离角之间的第一次摆动的情况，这时，（4.61）的右端取负号，得到 （4.62） 将方程（4.62）分离变量，然后积分，并计及初始条件即得 （4.63） 令 则（4.63）可些写为 （4.64） 这里是代表摆从最大正偏离角第一次到达所需的时间。经过的时间，摆到达最大负偏离角的位置，然后，摆又开始向右端运动，这时，（4.62）式已不能描述摆的运动了。故所得的解（4.64）只适用于的区间。对于之后的一段时间（4.61）的右端取正号，得到方程 积分之，并注意到此时初始条件为使，得到 （4.65） 再注意到 可将（4.65）写为 （4.66） 当上，摆又回复到，然后又向左端运动。（4.66）在区间上适用。在区间上摆的运动又由方程（4.62）描述。摆在和之间作周期性的摆动。所以，我们只需就区间讨论摆的运动已足够了。摆从到的摆动情况由方程（4.64）描述；而摆从再到的摆动情况由方程（4.66）描述。积分是不能用初等函数表示出来的，这是一个椭圆积分。我们可将这里得到的结果与前面用近似所得的线性方程的结果作一个比较，就知此处非线性的情形比线性化了的情形复杂得多了。 3）齐线性方程 （4.2） 我们知道，方程（4.2）的求解问题归结为寻求方程的个线性无关的特解，但如何求这些特解呢？没有普通的方法可循。这是与常系数线性方程的 极大差异之处。但是我们指出，如果知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶；或者更一般地，若知道方程的个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低阶，并且新得到的 阶方程也是齐线性的。 事实上，设是方程（4.2）的个线性无关7，显然不恒等于0，。令，直接计算可得 将这些关系式代入（4.2），得到 这是关于的阶方程，且各项系数是的已知函数，而的系数恒等于零，因为是（4.2）的解。因此，如果引入新未知函数，并在的区间上用除方程的各项，我们便得到形状如 （4.67） 的阶齐线性方程。 方程（4.67）的解与（4.2）的解之间的关系，由以上变换知道为，或。因此，对于方程（4.67），我们就知道它的个线性无关解，。 事实上，是方程（4.67）的解，这一点是显然的。假设这个解之间存在关系式 或 其中是常数，那么，就有 或 由于线性无关，故必有。这就是说是线性无关的。 因此，若对方程（