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递推关系的求解 一 基本概念 定义：确定的数列称为递推数列。（为其的阶） 二 基本解法 （1） （2） （3） 常系数线性齐次递推关系 将（2）称为（1）的特征方程 若是（2）的重根，则（1）的个特解分别为个特解的线性组合就是（1）的通解。 设找到，使 令可得.从而为的根。 结论：，若有两个不动点，则，这里。若只有一个不动点，则，这里 三 常用思想： 不动点，特征根 无理化有理（取对数，化新数列） 多元化少元 高次化低次 高阶降低阶 非线性化线性 非齐次化齐次 猜想试解 P103 例6 在正项数列中，求通项公式。 解 对两边取对数，得 即 这说明数列是首项为，公比为的等比数列，则有 故 P104例8 设数列满足且 求证：是完全平方数。 证 由式可得并代入式，得 两式相减 由方程 ，得 那么 通解为 由,代入上式解出，得 因为为正偶数，所以，是完全平方数. P106 例9 数列中，. 解 构建数列. 故 化简得 所以 数列是以2为首项，1/2为公比的等比数列. 所以 P107 例10已知满足，且，求. 解: 是二阶线性非齐次递推数列，先设法将它转化为一阶递推关系， 故条件变形为： 可见是常数列，逐次递推得 即 P107 例11设满足，求. 解：，解方程,得 于是由定理10得， 则： 由已知可得，解得 P108 例12已知满足，，且，求. 解：，故 两式相减得 即 则， 根据特征方程求解 . P108 例13设正数列满足,求. 解：把递推关系改写为 ① 令，则①为 ② 对②两边取对数，得 ③ 令，则③为 利用不动点性质有 即 故 其中， 即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知为常数数列，逆推上去，得，则，故是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知. P109 例14数列定义为：，求证：对任意的自然数，，表示不超过的最大整数。 证明：递推关系较为复杂，结论又未给出的表达式，不妨通过归纳法探索的表达式： 当时，， 当时，， …………… 由此可以猜想：. ① 问题转化为证明这一猜想，再证可被3整除。可令 当时，成立；假设当和时①式成立，则 时，由的递推关系及 可证：， 又由，故为正整数， 为内的纯小数。 所以成立。 P110 例15设满足，且，求. 解：令，则 令且 所以 利用不动点性质，有 所以①，又，令，则，所以 把上述代入①可得，即，，故.