凸分析讲义2012修订版.pdf

凸 分 析 讲 义 2012 修订版 重庆师范大学数学科学学院 重庆市研究生教育优质课程《凸分析与集值分析》项目组编 2012 年 12 月 目 录 第一章 线性空间中的凸性1 §1.1 线性空间及其代数对偶空间1 §1.2 子空间、仿射集、锥、凸集和序线性空间8 §1.3 代数内点、代数开集和代数闭集13 §1.4 凸集分离定理23 第一章 习题32 第二章 凸函数与凸规划34 §2.1 单变量凸函数34 §2.2 线性空间上的凸函数41 §2.3 次线性函数和Minkowski 函数49 §2.4 数学规划的Lagrange 乘子54 §2.5 凸规划的Lagrange 乘子法则61 §2.6 线性规划和Lagrange 乘子的经济解释70 第二章 习题75 第三章 拓扑线性空间中的凸性78 §3.1 拓扑空间及其有关概念78 §3.2 拓扑线性空间中的凸集分离定理94 §3.3 局部凸空间103 §3.4 对偶系和极化拓扑112 §3.5 凸函数的连续性和对偶性128 第三章 习题139 第四章 凸函数的次微分运算143 §4.1 凸函数的方向导数，Gâteaux 导数和次微分143 §4.2 次微分的性质156 §4.3 法向锥和切向锥166 §4.4 凸规划问题上的应用175 §4.5 凸规划的一般对偶理论182 I §4.6 一般对偶理论的应用197 §4.7 凸分析在其它数学分支中的应用204 第四章 习题215 第五章 集值映射的广义凸性及其在集值优化中的应用219 §5.1 序拓扑线性空间219 §5.2 集值映射的广义凸性220 §5.3 集值映射的广义凸性在集值优化中的应用230 本章参考文献248 记号、定义和主要结果249 附1 史树中著《凸分析》前言259 附2 史树中著《凸分析》参考文献261 本讲义参考文献/后记/补记262 II 第一章 线性空间的凸性 第一章 线性空间的凸性 §1.1 线性空间及其代数对偶空间 线性空间（亦称向量空间）是n 维向量空间R n 在实数域R 上的推广. 它把通常的向量 加法与放大、缩小（数乘）抽象化，形成线性空间的公理. 这样，我们在一般线性空间中讨 论凸集，得到的有关结果当然首先在n 维向量空间R n 中成立. 假设X 是一个由抽象元素（亦称向量）组成的集合，我们考虑而且仅考虑如下定义在 实数域上的（实）线性空间. 定义 1.1.1 如果在X 的元素之间定义了一种二元运算（称为加法，