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二倍角的三角函数 路学义 2004．2.23 sin2α=? cos2α=？ tan2α=？ 1.两角和与差的正,余弦,正切公式 ★．Sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ ★．Cos(α+β)=cosαcosβ sinαsinβ - - ＋ - - tan(α＋β)= - tanα+tanβ 1＋tanαtanβ - ★． 说明：　 　　　 　　　 １．从推导上理解. ２．从结构上记忆． ３．注意正用，逆用，变形用． - 由上述公式如何得到２α的三角函数? tan(α＋α)= tanα+tanα 1-tanαtanα tan2α= sin(α+α)＝sinαcosα+cosαsinα 2tanα 1-tan2α cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα 令α=β得 即 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α 对于上述公式我们需注意些什么？ tan2α中1-tan2α≠0，tanα有意义，tan2α有 意义 即 2α≠kπ+π/2，α≠kπ/2+π/4 （k∈z） 得 α≠kπ+π/2 （k∈z） α≠kπ/2+π/4，且α≠kπ+π/2 （k∈z） 当α=kπ+π/2 （k∈z）时，虽然tanα的值不存在,但tan2α的值存在，可用诱导公式，即tan2α=tan2（ kπ+π/2 ）=tan（2kπ+π）=tanπ=0 tanα≠1或-1得α≠kπ+π/4 （k∈z） 对于cos2α，有没有其他形式？请说出来。 ∵sin2α +cos2α =1 ∴ cos2α =1- sin2α ， sin2α =1- cos2α ∴cos2α=2 cos2α –1=1-2 sin2α 需要说明的几点 1、用sinα 、 cosα 表示sin 2α、 cos2α;用 tanα表示tan2α即用单角的三角函数表示复 角的三角函数 2、C2α有三种形式， T2α是有条件的 2、例题分析 例1 已知sin α =5/13， α∈（π/2，π）求sin 2α、 cos2 α， tan2α的值 ∵ sin α =5/13， α∈（π/2，π） 　　∴ cos α =-√1- sin2 α =-√1-（5/13）2 =-12/13 tan2α= =（-120/169）×169/119= - sin2α cos2α 120 119 ∴ sin2α=2sinαcosα=2×5/13×（-12/13） ＝- 169/169 cos2α=1-2sin2α＝1-2×（5/13）2 ＝119/169 解： 本题还有没有其它做法？试说出，并比较其优劣。 解： 　　 ∵ sin α =5/13， α∈（π/2，π） ∴ cos α = -12/13， tanα=-5/12 sin2α=2sinαcosα =（ sin2 α +cos2 α + 2sinαcosα）-1 =（sinα+cosα）2-1 =（5/13-12/13） 2-1 =49/169-1=-120/169 cos2α= cos2 α -sin2 α tan2α= = = -120/119 2tanα 1-tan2α -10/12 1-25/144 例2 不查表求值： （1）2cos105ocos15o （2）5/18-5/9sin15o （3）tan15o/（1-tan215o） （4）sin(π/24)cos(π/24)cos(π/12) = （cosα+ sinα）（ cosα- sinα） = 119/169 =（-12/13+5/13）（-12/13-5/13） = -7/13×（-17/13） 解： =(1/4)sin(π/6)=1/8 =(1/2)sin(π/12)cos(π/12)=(1/4)2sin(π / 12)cos(π/12) =(1/2)2sin(π/24)cos(π/24)cos(π/12) 〈4〉sin ( π/24) cos ( π/24) cos ( π/12) tan15o 1-tan215o 1-tan215o 2tan15o 〈3〉 = ?× =(1/2)tan30o=√3 /6 =5√3/36 =5/18cos30o 1-2sin215o 2 =5/9× 〈2〉5/18-(5/9