通州高级中学2012届经典数学习题汇总.docVIP

备战2012高考数学 ——通州高级中学2012届经典数学习题汇总 （注：绝大多数为所做原题或改编题，少数为新增好题） 平面向量平面几何立体几何 1、如图，已知O为△ABC的外心，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足． （Ⅰ）证明：2a2=b2+c2； （Ⅱ）求的值． 考点：平面向量数量积的性质及其运算律；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数。 分析：（Ⅰ）取AB、AC的中点E、F，则根据三角形法则可得：，同理；进而得到答案． （Ⅱ）由题意可得：，再结合两角和与差的正余弦公式、正弦定理、余弦定理进行化简即可求出答案． 解答：解：（Ⅰ）取AB、AC的中点E、F， 则…（3分） 同理； 所以2a2=b2+c2．…（5分） （Ⅱ）由题意可得： =…（10分） 点评：夹角此类问题的关键是熟练掌握向量的三角形法则，以及解三角形的正弦定理与余弦定理等有关三角形的常用知识点． 2、 已知0＜x＜1，0＜y＜1，求 +的最小值． 考点：向量的线性运算性质及几何意义。 分析：先设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），然后构造向量使得则=，然后根据向量模的不等关系进行解题． 解答：解：设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y）， 则= = =． 而，得． ∴，当与同向，与同向时取等号，设， 则1﹣x=λx，1﹣y=λy，﹣x=μx﹣μ，1﹣y=μy，解得． 所以，当时，M的最小值为． 点评：本题主要考查向量的线性运算和坐标运算．属难题．一定要熟练掌握向量的线性运算法则和巧妙的设坐标构造向量，从而方可运用向量进行解题． 3、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为　　． 考点：平面向量的基本定理及其意义。 分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，求出λ+μ=的最小值． 解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1， 则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）． 设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）． 再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ ）， ∴=1，﹣λ+μsinθ=1，∴λ=，μ=， ∴λ+μ=．由题意得 0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1， ∴当cosθ取最大值1时，λ+μ取最小值为=， 故答案为． 点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，用cosθ，sinθ表示 λ和μ 是解题的难点． 4、如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设=a+β（α、β∈R），则α+β的取值范围是　[3，4]　． 考点：向量在几何中的应用。 分析：通过建立坐标系，写出点的坐标及直线方程，设动点P的坐标写出动点P的可行域；写出向量的坐标，据已知条件中的向量等式得到α，β与x，y的关系代入点P的可行域得α，β的可行域，利用线性规划求出α+β的取值范围 解答：解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0）， ， 则EC的方程：；CD的方程：； 因P是△CDE内（包括边界）的动点，则可行域为 又， 则，，， 所以 得． 故答案为[3，4]． 点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，通过线性规划求出范围． 5、已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若，则m=　sinθ　．（用θ表示） 考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数。 专题：计算题。 分析：根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的平行四边形法则可得，代入已知的等式中，连接OD，可得⊥，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到cosB=﹣cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函数表示出m． 解答：解：取AB中点D，则有， 代入得： ， 由⊥，得?=0， ∴两边同乘，化简得： ， 即， 由正弦定理==化简得： C， 由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC， ∴m= ==sinA， 又∠A=θ， 则m=sinθ． 故答案为：sinθ 点评：此题考查了正弦定理，平