08-09高数期末考试.docVIP

吉林化工学院 2008 — 2009 学年 第 二 学期期末考试 高等数学 试卷 ( ) 判断题（每小题2分，共8分）。 1. 函数在点的偏导数及存在是在该点可微分的充要条件。（ × ） 2.函数在单连通域内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 在内与路径无关的充分必要条件是在内恒成立。（ √ ） 3. 设直线和的方向向量依次为和，两直线和互相垂直相当于。（ × ） 4. 如果级数收敛，则它的一般项当时以零为极限，即。（ √ ） 二.填空题（每小题4分，共16分）。 1. 设，，则= （7，5，-3） 。 解：= 2. 设，是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，那么该方程的通解是。 解：根据定理即得。 3. 交换积分次序：= 。 4. 设L为下半圆周，则曲线积分的值为。 解：令 则===。 三.选择题（每小题4分，共16分）。 1. 一平面过点（1，0，-1）且平行于平面，则这个平面的方程是 B 。 .; .; .; .。 解：所求平面法向量为:, 将点（1，0，-1）代入平面点法式方程即得B答案正确。 2. 设区域，则二重积分的值为 C 。 .0; .2; .; .。 解：==2- 0 =。 3. 下列级数中收敛的是 C 。 .;　　 .; .;　　　　 .。 解：=，两个收敛级数之和仍收敛。 4. 微分方程的通解是 A 。 .; .; .; .。 解：将分离变量得： 上式两端积分得： 四.计算题（本题8分）。 设函数，且具有一阶连续偏导数，求和。 解： 五.计算题（本题8分）。 计算曲线积分，其中顺时针方向。 解：令，，则，， 由格林公式，= = 。 六.计算题（本题8分）。 求微分方程满足初始条件的特解。 解：所给方程为一阶线性非齐次方程，先写成标准形式： 对应齐次线性微分方程的通解为: 常数变易法：令求导得： 代入原方程整理得：，即， 原方程通解为： 代入初始条件：，特解为：。 七.应用题（本题10分）。 设曲线的参数方程为：,,,求该曲线的与平面平行的切线方程。 解：由： 得：曲线任意点的切向量为: , 与平面平行，就是与法向量垂直， 即，得 切点为和， 从而 与平行的切线有两条: 和。 八．计算题（本题10分）。 按要求完成下列一个题： 1.（数学I）设是周期为的周期函数，它在上的表达式为 将展开成傅里叶级数。 2.（数学II）求幂级数在上的和函数。 3.（数学III）求幂级数的收敛区间。 答案： 1.解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛， 时级数收敛于0； 时，级数收敛于。 计算傅里叶级数如下： ==0 ）； = == = 2. 解: = =。 3. 解：=5， 故收敛半径=， 故收敛区间为:（-1/5，1/5）。 九．应用题（本题10分）。 按要求完成下列一个题： 1.（数学I）求均匀曲面的质心坐标。 2.（数学II）求由平面及和所围成的空间立体的质量（体密度为常数）。 3.（数学III）平面薄片所占平面区域为所围，各点的面密度，求平面薄片的质量。 答案： 1.解：由对称性得： 而， = 。 半球面的面积为，重心坐标为 。 2.解： 。 3.解： 。 十．证明题（本题6分）。 设二元函数在点的某一邻域内均具有一阶连续偏导数，且.给出在条件下取得极值的必要条件，并证明你的结论。 答案： 必要条件为： 。 证明：假设所求函数在取得所求极值，首先有。 （1） 由条件在点的某一邻域内均具有一阶连续偏导数，且及隐函数存在定理知，方程确定一个连续且有连续导数的函数，则此题相当于求一元函数在取得极值的必要条件。由一元可导函数取得极值的必要条件知道： 由隐函数求导公式： 代入上式，得 （2） （1）、（2）两式即为所求必要条件。设上述必要条件就变为： 。 1 靖业书店