向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角.pptVIP

* * 范 围 有关角的几个概念或范围 平面角 空间中的角 b a O 从一点 引出的两 条射线组 成的图形 两条直 线的夹角 异面直线的夹角 a b b B a’∥a, b’ ∥b, a’、 b’交于O.∠AOB是 异面直线a、 b 所 成的角。 a A O a l l θ 直线和平 面所成的角 l’是l 在平面a 内的射影, l’与l 的夹角是l 与a 所成的角。 二面角 O A B l β a OA⊥l, OB⊥l OA?a ,OB? β ∠AOB是二面 角a —l— β的 平面角。 β a b A B C D 设异面直线a、b的夹角为θ cosθ = ? ? AB , CD cos | | = AB · CD · AB | | CD | | θ = ? ? AB , CD 或 θ =π－ ? ? AB , CD 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。 1 、求两异面直线所成的角 2、求直线和平面所成的角 β C B θ n 设直线BA与平面β的夹角为θ， n 为平面β的法向量, A g1 n 与向量 BA 的夹角为锐角g1 当 θ= β C B A θ n g2 n 与向量 BA 的夹角为钝角g2 当 θ= b a l q n1 n2 g 3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设 ? , ?= g n1 n2 设a —l —b的平面 角为q q =π－g b a l q n1 n2 g g 两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。 b a l q n1 n2 g b a l q n1 n2 g 设 ? , ?= g n1 n2 设a —l —b的平面 角为q q =g 两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。 1 G K F E A B 1 C 1 D 1 C D B A z y x 例1：棱长为1的正方形ABCD— A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是 棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点， ①求A1D与CK的夹角； ② DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） ③二面角G—EF—D1的大小 （用三角函数表示） 解：以D为坐标原点 DA , DC , DD1 为单位正 交基底建立直角坐标系。 G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A z y x ①∵A1(1,0,1) D(0,0,0) C(0,1,0) ∴ DA1 =(1,0,1) ? , ? CK cos DA1 = | | CK · | | DA1 CK DA1· ∴ DA1 与CK的夹角为 ② DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） z y x G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A 设面EGF的法向量 =(x, y, z) n n · EG=0 n · EF =0 令x=1,得 =(1, 1,－1) n z y x G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A DD1 ∵ =(0,0,1) ? , ? cos DD1 n ∴ DD1与平面EFG所成的角为 ③二面角G—EF—D1的大小 （用三角函数表示） z y x G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A 由②知面GEF的法向量 =(1, 1,－1) n 而面DAD1A1法向量 DC =(0, 1,0), ? , ? cos DC n ∴二面角G—EF—D1为 D B C A s z x y 解:建立如图所示的直角坐标系 C(1,1,0), S(0,0,1) AD 且 AD 是面SBA的 法向量 设平面SCD的法向量 n =(x,y,z) 例2.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中, ∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA= AB=BC=1, 求面SCD与面SBA所成的二面角 的正切值。 DC SD n · DC =0 n · SD =0