ch12-1多元函数积分的概念性质培训资料.pptVIP

第十二章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 多元函数的积分及其应用 三、多元函数积分的性质 第一节 一、引例 二、多元函数积分的概念 多元函数积分的概念与性质 第十二章 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 4)“取极限” 令 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 3. 变密度空间立体的质量计算 设有空间立体 Ω, 其密度为 μ= μ( x , y , z ) ( μ = μ( x , y , z ) 在 Ω 上连续 ) , 计算立体 Ω 的 质量 m 1) “大化小”: 将 Ω 划分成至多只有公共边界面的 n个空间子区域 : 则有 ? 4. 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 这些问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 空间立体的质量: 曲面薄片的质量: 二、多元函数积分的概念 定义: 设 为一个有界的几何形体（可以是平面区域、 空间立体、曲线弧段、空间曲面）.它是可以度量的（即 可以求长度或面积或体积），函数 f (P) 是定义在 上的一个有界函数（数量值的）. 将 任意划分为n个小部分 并仍用 表示每一个小部分 的度量。在每一个小部分 上任取一点 ，作乘积 ， 并作和式（也称为黎曼和式） 记 为子区域 的直径 , 如果不论对 怎样划分，不论点 在 中怎样选取，极限 存在并且为同一个值，则称函数 f (P)在 上可积，并称此极限值为多元函数 f (P) 在几何形体 上的积分（黎曼积分），记作 其中 f (P)被称为被积函数， 被称为被积表达式（或积分微元）， 称为积分区域。 引例1中曲顶柱体体积: 引例2，3，4中形体的质量: A、二重积分 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 作和式 记 d (Δσk ) 为子区域 Δσk 的直径 , ( 其面积也记 ) , 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 若存在一个常数 I , 使 说明: (1) 若 f (x , y) 在 D 上可积 , 则积分和的极限 与划分无关 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: (2)如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 (3) 二重积分的几何意义: (a) 若 , 则 表示以 D 为底 , 曲面 z = f (x , y) 为顶的曲顶 柱体的体积 (b) 若 , 则 即 表示由 D 与 z = f (x , y) 所成 曲顶柱体体积的负值 (c) 对于一般的函数 f (x , y) ,