悲观的多覆盖模糊粗糙集.docVIP

doi: 10.6043/j.issn.0438-0479.201603032 悲观的多覆盖模糊粗糙集 张夏苇 （厦门理工学院应用数学学院，福建 厦门 361024） 摘要：在乐观的多覆盖模糊粗糙集的基础上，建立了悲观的多覆盖模糊粗糙集模型。分别讨论了悲观多覆盖模糊粗糙集、基于交的覆盖模糊粗糙集、覆盖模糊粗糙集和乐观多覆盖模糊粗糙集之间的关系。该模型的建立和得到的诸多性质丰富了粗糙集理论。 关键词：模糊粗糙集；悲观；多覆盖 中图分类号： TP18 文献标识码：A 粗糙集理论首先是由波兰数学家Pawlak引入的[1]，是一种处理不确定信息和数据非常有效的工具和方法。该理论自从被引入以来，便得到了众多学者的关注，取得了丰硕的成果。但是Pawlak粗糙集是由定义在论域上的一个划分（等价关系）来定义的，这一要求在很多情形下却成了妨碍Pawlak粗糙集进一步发展和应用的一个“短板”。于是Zakowski对Pawlak粗糙集进行了推广，引入论域上的一个覆盖的定义，提出了覆盖粗糙集模型[2]。从另一个角度来看，因为Pawlak粗糙集是由一个等价关系定义的，从而Pawlak粗糙集是单粒化的。于是钱宇华又提出了乐观的多粒化粗糙集和悲观的多粒化粗糙集两种模型[3-4]。后来很多学者都对多粒化粗糙集进行了深入的讨论[5-11]。接着在覆盖粗糙集和多粒化粗糙集的基础上，人们又研究了多覆盖的粗糙集模型[12-13]。 另一方面，我们知道模糊集理论也是一种处理模糊和不确定信息有效的工具。于是很自然，人们便把粗糙集理论和模糊集理论结合起来研究，提出了各种模糊的粗糙集模型。例如，徐伟华就研究了多粒化的模糊粗糙集的有关性质[14]。孔庆钊也建立了覆盖模糊粗糙集模型，得到了许多深刻的结论[15]。此外，刘财辉还研究了乐观多覆盖模糊粗糙集模型[16]。但是至今悲观多覆盖模糊粗糙集模型还没有建立和研究，因此本文就在刘财辉提出的乐观的多覆盖模糊粗糙集模型的基础上，提出了悲观的多覆盖模糊粗糙集模型并讨论了有关性质，得到了许多有意义的结论。 1 预备知识 定义1[17] 设是一个论域，是的一个覆盖，称序对为一个覆盖近似空间。对任意，我们称为的最小描述。 定义2 [18] 设为一个覆盖近似空间，对，则分别称 为的覆盖下近似和上近似。 在文献[18]中，我们可以得到的覆盖下近似和上近似有如下性质： 定义3[16]设是一个覆盖且，如果是中某些元素的并，则我们称是覆盖的可去元素。我们把覆盖中所有的可去元素都剔除后剩下的覆盖称为的一个约简，记为。 定义4[19]设是的两个覆盖，若对任意的都存在使得，则称比细，记作。 定义5[19]设是的两个覆盖，则我们定义这两个覆盖的交为 . 在本文中，表示所有定义在上的模糊集的全体。 定义6 [19] 设为一个覆盖近似空间，对，则分别称 为的覆盖模糊下近似和上近似。这里“”表示取最小值，“”表示取最大值。 定义7[19]设是一个论域，是的一个覆盖族，称序对为一个多覆盖近似空间。 定义8 [16]设为一个多覆盖近似空间，其中，对，则分别称 为的乐观多覆盖模糊下近似和上近似。 为此，在定义8的基础上我们也可以定义悲观的多覆盖模糊下近似和上近似： 定义9设为一个多覆盖近似空间，其中，对，则分别称 为的悲观多覆盖模糊下近似和上近似。 2 主要结果 定理1设为一个多覆盖近似空间，其中，对，则有下列性质成立 证明: 由定义9显然可得。 但是对悲观的多覆盖模糊粗糙集而言，如下性质 却一般并不成立。下面我们举例说明。 例1 设论域，，，则有 , ， 对模糊集，我们有 因此，. 同样，对，也有. 设是的个覆盖，根据定义5，个覆盖的交仍然是的一个覆盖。于是对任意模糊集，我们就可以定义基于覆盖的覆盖模糊粗糙集。那么悲观的多覆盖模糊粗糙集和基于覆盖的覆盖模糊粗糙集有何关系呢？首先，我们不妨举个例子对此做一个初步的说明。 例2 在例1中，我们有, 则 , 从而，可得 . 同理，还有. 因此，由例2我们如下结论： 定理2设为一个多覆盖近似空间，其中，对，则有下列性质成立 ; . 证明：(1) 为了论述方便，我们只对的情形给于证明。 设是的两个覆盖，对任意，把中所有包含的元素的集合分别记为 从而有 显然，有。从而由定义6和定义9可得。 (2) 仿(1)的证明可得。 我们知道，悲观的多覆盖模糊粗糙集是由个覆盖定义的，那么我们自然会个覆盖所定义的个覆盖所定义的覆盖模糊粗糙集的关系是怎样的呢？下面我们先通过一个例子来做一个初步的探讨。 例3设，，, 对，我们有