级数篇总复习(新).docVIP

级数篇总复习 内容复习 一、定义、概念 二、基本计算 数项级数敛散性判断 正项级数 任意项级数 定义，则收敛 若，则发散 性质1—性质5 正项级数收敛的基本原理 正项收敛有界 绝对收敛准则 收敛收敛 比较审敛法（包括极限形式） 难点：合适的参考级数的选择 2、交错级数的莱布尼茨审敛法 3、比值审敛法（达朗贝尔审敛法）缺点：失效 4、根值审敛法（柯西审敛法） 3、推广的比值审敛法 判断任意数敛散性的一般步骤：（1）判断的敛散性 （2）判断的敛散性 几个重要的级数： 等比级数（几何级数） 调和级数发散 级数 （二）求幂级数的收敛半径，收敛域 收敛半径：1、公式法，或（级数不缺项） 2、定义法 结合收敛半径定义 收敛域：收敛区间及端点 （三）求幂级数的和函数 将所求幂级数 一般步骤：1、求幂级数的收敛半径，收敛域 2、求和函数，注明收敛域 （四）求函数的幂级数展开式 方法：1、直接法 （知道步骤） （1）求，写出级数，并求收敛域 （2）验证 2、间接法 上7个公式 ，注明收敛域 （五）求函数的傅里叶展开式 1、周期函数的Fourier展开式 步骤：1、作出的图形，并验证狄氏条件 2、求Fourier系数 写出Fourier级数， 3、利用狄氏定理，求得的Fourier展开式 间断点 4、进一步地， Fourier级数的和函数与的关系 2、定义在上的的Fourier展开式 步骤：1、将延拓成以为周期的周期函数 2、求的Fourier展开式 将限制在取值，即得的Fourier展开式 为连续点 进一步地， Fourier级数的和函数与的关系 3、将定义在上满足狄氏条件的展开成正弦级数和余弦级数 正弦级数：奇延拓 余弦级数：偶延拓 三、重要定理、性质 收敛级数的性质1—5 正项级数的各种审敛法（正确记住条件，结论） 莱布尼茨审敛法 阿贝尔定理 幂级数的三个分析性质 函数展开成幂级数的条件 狄利克雷收敛定理 习题 1、下列级数中收敛的是（ C ） A、 B、 C、 D、 2、级数（为常数），则级数（ C ） A、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、收敛性与有关 3、设是常数，则级数是（ A ） A、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、收敛性与有关 4、下列级数满足莱布尼兹条件的是 ( C ) A、 B、 C、 D、（为非零常数) 5、设，则级数（ C ） A、与都收敛 B、与都发散 C、收敛，发散 D、收敛，发散 6、若在处收敛，则该级数在处 收敛 （收敛或发散） 7、级数，当 1 时，级数绝对收敛；当时，级数条件收敛； 当时，级数发散。 8、设是以为周期的函数，它在上的表达式是，若是的Fourier级数，则＝；＝ 9、判断下列级数的敛散性（如果是任意项级数，还需判断是绝对收敛还是条件收敛） （1）（发散， ） （2） （发散， ） （3） （收敛 比值审敛法） （4）（绝对收敛 比较审敛法，根值审敛法） （5）（收敛 ） （6）（绝对收敛 比值推广的比值审敛法） （7）（条件收敛 参考级数） （8） （绝对收敛，根值审敛法） （9）（比较审敛法，参考级数） 10、（1）求幂级数的收敛域和和函数 （收敛域，和函数） (2 )求幂级数的收敛域和和函数（收敛域，和函数） 11、（1）将函数展开成的幂级数 （ ） （2）将函数展开成的幂级数 （ ） 12、将在区间上分别展开成正弦级数和余弦级数 （正弦级数： 余弦级数： ） 13、设，，且，试求的傅里叶展开式 （）