第三节 函数极限高等数学.pptVIP

函数与极限 例3. 证明 例4.证明 例5. 例7. 设函数 内容小结 极限有七种 三、极限的性质(请同学自学) 四、函数极限与数列极限的关系 例9. 证明 作 业 P.41 13, 17, 18(1)，19(2), 21 * 上页 下页 返回 结束 第一章 函数与极限 第三节 函数的极限 函数极限的定义 函数极限的性质 若对 总 使得 记作 即 时, 上页 下页 返回 结束 描述性定义 若在 ￥ ? x 过程中, 对应 函数值 ) ( x f 无限趋近于确定值 A , 时的极限. 当 为 则称 ￥ ? x ) ( x f A 几何解释: 上页 下页 返回 结束 两种特殊情形 — 单侧极限: x 0 且无限增大时函数的极限, 即 x 0 且 | x | 无限增大时函数的极限, 即 且 例1. 因为 所以, 不存在. , 上页 下页 返回 结束 例2. \ e 0 证 上页 下页 返回 结束 或 若 在 0 x x ? 过程中, f (x) 对应函数值无限趋于 确定值 A , 时的极限. ) ( 0 当 为 则称 x x x f A ? 为 则称 A ) ( 0 时的极限. 当 x x x f ? 记作 1. 定义 上页 下页 返回 结束 若对 注 1. 上页 下页 返回 结束 2. 3. x x ? 0 的方式是任意的. 4. 5. 几何解释 证 欲证: 由 f (x) = 2x + 1 在 有定义 上页 下页 返回 结束 证 欲证: 由 f (x) 在 无定义 可见, 上页 下页 返回 结束 证 由 f (x) 在 有定义极限存在，但是 可见, , 证明 则当 时, 上三例表明, 时f (x) 有无极限, 与f (x) 在 是否有定义、函数值是多少无关. 这就是定义 中要求 的原因. 上页 下页 返回 结束 (1)左极限 (2)右极限 2.单侧极限 上页 下页 返回 结束 例6. 证 定理 充要条件: 上页 下页 返回 结束 讨论 时 的极限是否存在 . 解 因为 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列极限 函数极限 数列极限可看作函数极限 的特例. 今后, 常用 来表示以上极限中的任何一种. 上页 下页 返回 结束 2.局部有界性 1.唯一性 3.局部保号性 则存在空心邻域 , 在该邻域内, f (x) 有界. 则存在空心 , 在该邻域内, f (x) 0 (或 0 ). 邻域 则A≥0 ( 或 A ≤ 0 ). 上页 下页 返回 结束 若 上页 下页 返回 结束 推论 如果 在某空心邻域 内, f (x) ≤g (x) 且 都存在, 则 对于其他类型的极限, 有类似的上述各结论. 证　 例8 设 证明存在 的邻域, 使得在该邻域内, 存在 使得 定理 有定义, ( x →∞) 若对 ( ) (证明略) 定理的运用: 1. 利用函数极限求数列极限 设 存在, 对于数列极限 , 若令 , 则 这一方法很重要！ 上页 下页 返回 结束 则 2. 用于判断函数极限不存在 . 方法1 找一个数列 不存在 . 方法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 不存在 . 证一 取两个趋于 0 的数列: 与 上页 下页 返回 结束 则 不存在 . 而 因此, 证二 取数列 则 不存在. 不存在 . 因此, 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 * *