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§16-2 平面简谐波 波动方程 平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。 平面简谐波 1.平面简谐波的波动方程 平面简谐行波，在无吸收的无限大均匀介质中沿x 轴的正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，取O 作为x 轴的原点。设O点处质点的振动表式为 平面简谐波的波动表式 考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。若振动从O 传到P所需的时间为t?，在时刻t，P点处质点的位移就是O 点处质点在t – t ?时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于O点，其相位差为? t ?。 P点处质点在时刻t 的位移为： 因 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿x 轴方向传播的平面简谐波的波动方程。 利用关系式 和 ，得 其中 平面简谐波的波动表式 波动方程的意义： 上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率w 作简谐运动。 即 x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。 t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。 平面简谐波的波动表式 即 以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。 平面简谐波的波动表式 沿波线方向，任意两点x1、x2简谐运动的相位差为： x、t 都变化。 实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形 Dx=uΔt 波的传播 平面简谐波的波动表式 在x1处，t=t1时刻质点的状态为 平面简谐波的波动表式 在x2 处，t=t2时刻质点的状态为 令x2 = x1 +uΔt， t2 = t1 +Δt 得 即在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动了 ，波速u 是整个波形向前传播的速度。 波速u 有时也称相速度。 平面简谐波的波动表式 沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式 O 点简谐运动方程： y x o P 点的振动方程为： 平面简谐波的波动表式 例题16-3 频率为?=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为Y =1.9?1011N/m2，棒的密度? =7.6?103kg/m3。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3)离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。 解 棒中的波速 波长 波动方程的推导 周期 (1)设原点处质点的振动表式 y0=Acos? t=0.1?10-3cos(2??12.5?103t)m =0.1?10-3cos25?103?t m (2)波动表式 式中x 以m计，t 以s 计。 (3)离原点10cm处质点的振动表式 波动方程的推导