因动点产生的等腰、直角三角形问题.docVIP

因动点产生的等腰、直角三角形问题 例1：2012年广东省中考模拟试题第22题 例2：2012年东莞市中考一模第22题 例3：2012年广东省佛山市中考第22题 例4：2013年学大教育模拟试题第25题 命题规律与方向解读： 压轴题都是动态几何问题，难度比较大，通常把数与方程，函数与方程，函数与面积，相似三角形、全等三角形等联系在一起，有较强的综合性，对学生综合运用所学知识解题有很高的要求，考查学生运用代数方法解决几何问题的能力和综合解题的能力，近三年都是这个特点，预计2013年中考广东省试题还会延续以前的特点。 备考建议： 在日常的教学中我们也可以尝试把这样的题目分散难点呈现，把综合题分解为较简单的几个小题目，逐个击破，不仅可以培养学生化繁为简、分步突破的能力，还有助于提高学生解决压轴题的自信心。 典型例题分析： 例1：（2012年广东省中考模拟）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答： （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由，BO＝CO，得PH＝BH＝2)、(1,)或(1,0)．过程如下： 设点M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得． 此时点M的坐标为(1,)或(1,)． ③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)． 图3 图4 图5 例2 ：(2012年东莞市中考一模第22题)如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起． 满分解答： （1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C． 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，． 所以点B的坐标为． （2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B，．解得． 所以抛物线的解析式为． （3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)． ①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得． 当P在时，B、O、P三点共线（如图2）． ②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得． 综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示． 图2 图3 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形． 由，得抛物线的顶点为． 因此．所以∠DOA＝30＝0°． 例3：（2012年广东省佛山市中考第22题）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 图1 思路点拨 1．根据同底等高