函数的单调性函数极值的第一判别法.PPTVIP

3.3 函数的单调性 一个函数在某个区间的变化规律，是研究函数图形时首先要考虑的. 第1章里已经给出了单调性的定义，现在讨论如何利用导数来判定函数的单调性. * 现在开始上课 Math3-2 授 课 内 容 函数的单调性 函数极值的第一判别法 知 识 点 用导数判断函数单调增加单调减少的方法 极值的概念 极值存在的必要条件 极值的第一判别法 重 点 函数单调性的判定与图像增减的描述 极值的概念和判定 x y 0 y=f(x) 下面我们从图象上观察分析曲线上点的切线 斜率的正负与曲线的上升与下降的关系. x y 0 y=f(x) 单调性的判别法 定理3.4 （证明略） 例 解 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 单调区间求法: 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 为了方便和直观，我们列表讨论函数的单调性 f(x) + 0 - 0 - 0 + f′(x) + 0 - - - 3x-2 + + + 0 - x+1 (2/3,+∞) 2/3 (0,2/3) 0 (-1,0) -1 (-∞,-1) x f(x) + - + - f′(x) + 0 - - - x-1 + + 0 - - x+1 + + + 0 - x+2 (1,+∞) 1 (-1,1) -1 (-2,-1) -2 (-∞,-2) x × y + 0 - × - y′ (0,+∞) 0 (-1,0) -1 (-∞,-1) x 小 结 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性. 定理中的有限区间换成无限区间，结论仍然成立. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 3.4 函数的极值 3.4.1 函数的极值 定义3.1 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. ?函数的极值点一定是区间的内点.从而区间的端点不可能成为函数的极值点. 极值是一个局部的概念,它只是与极值点邻近的点的函数值相比是较大或较小,而不意味着它在函数的整个定义区间为最大或最小.这从下面的图象中可以体现出来. 极值和极值点的几何示意: 函数极值的求法: 定理3.5(必要条件) 定义: 注意: 例如 定理3.6(极值判别法Ⅰ) (极值点情形) 定理3.6(极值判别法Ⅰ) (不是极值点情形) 求极值的步骤: 例1 列表讨论 极大值10 解 极小值22 - 图形如下: + _ _ (-∞,1) 0 1 0 0 2 + + + (2,+∞) _ _ + (1,2) x 极大 值 2/3 极小 值 1/3