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 PAGE \* MERGEFORMAT 13 第二章 §2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1平面 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。 符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α=＞l l α 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理2推论： 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。 经过两条相交的直线有且只有一个平面。 经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示：P∈α，且P∈β=＞α∩β=l，且P∈l 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线。 共面直线定义：在同一平面内的两条直线叫做共面直线。 空间两条直线的位置关系有且只有以下情况： 共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公???点；平行直线：同一个平面内，没有公共点。 异面直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（空间平行线的传递性。） 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线所成的角定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。——取值范围是﹙0°,90°] 如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条直线就互相垂直。 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有以下三种情况： 直线在平面内——有无数个公共点； 直线与平面相交——有且只有一个公共点； 直线与平面平行——没有公共点。 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 2.1.4平面与平面之间的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： 两个平面平行——没有公共点； 两个平面相交——有一条公共直线。 练习： 给出下列命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 垂直于同一平面的两个平面互相平行； 若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2互相平行； 若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线。 其中假命题的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 已知直线l，m，n及平面α，下列命题中是假命题的是（ ） A、若l∥m，m∥n，则l∥n； B、若l∥α，n∥α，则l∥n； C、若l⊥m，m∥n，则l⊥n； D、若l⊥α，n∥α，则l⊥n. 已知平面α，β，直线a，b；且α∥β，aα，bβ，则直线a与b的位置关系是： §2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2.2.2平面与平面平行的判定 定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 其他判定： 垂直于同一条直线的两个平面平行。 平行于同一个平面的两个平面平行。 两个平行平面α，β同时垂直的直线l，叫做这两个平行平面α，β的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段．公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 练习：已知正方体ABCD-,求证：平面//平面。 证明：因为ABCD-为正方体， 所以 ， 又，所以 ， ，所以为平行四边形。 所以 。又,, 由直线与平面的判定定理得， 同理：，又，所以平面。 2.2.3直线与平面平行的性质 定理：一条直线于一个平面平行，则过这两条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 练习：如图，已知异面直线AB、CD都与平面平行，CA、CB、DB、DA分别交于点E、F、G、H． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 2.2.4平面与平面平行的性质 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 练习：如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α. 证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α， ∵ MN平面MEN，∴MN∥α. §2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，他们唯一的公共点P叫做垂足。 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为： 练习：1.圆O所