高考数学一轮复习 三次函数知识梳理1.docVIP

三次函数（专题1） 一、考情分析：在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考的热点。 2007年13题中档题 21题基础题； 2008年14题 难题 2009年3题基础题9题难题 2010年未涉及 2011年19题压轴题 从今年江苏高考来看二次函数型问题【C级考点】普片涉及较多本于三次函数导函数为二次函数型，对三次函数问题的研究应注意强化。 二、知识梳理: 1.图像特征及零点分布： 性质状态 三 次 函 数 图 象 说 明 a对图象的影响 当a＞0时， 在+∞右向上伸展，-∞左向下伸展。 当a＜0时， 在+∞右向下伸展，-∞左向上伸展。 与x轴有三个交点 ,，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点 与x轴有二个交点 ,，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 1。存在极值时即2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。 2.极值情况： 三次函数（a＞0）, 导函数为二次函数， 二次函数的判别式化简为：△=， (1) 若，则在上为增函数； (2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. 总结以上得到结论: 三次函数, (1) 若，则在R上无极值； (2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值. 由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。 三、经典讲练： 【例题1】：函数在时有极值，则的 值分别为________ . 变式训练：【临沂高新实验中学】7．已知函数，时，只有一个实数根；当3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数有2个极值点； ②函数有3个极值点； ③=4，=0有一个相同的实根 ④=0和=0有一个相同的实根 其中正确命题的个数是 。3 【例题2】：【05全国二卷】设为实数，函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点． 变式训练：a为何值时f（x）的图象与直线y=1恰有一个交点 分析：令 极大值，或极小值 例题3：14.对于总有成立，则= ▲ 。 变式练习：【江苏·扬州】14．若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是 例题4：（07全国II理22/22）已知函数．在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明： 变式练习：【启东中学08-09高二月考】20．设函数的图象如图所示，且与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域的面积为。 （1）求函数的解析式； （2）设，如果过点可作函数的图象的三条切线，求证：。 变式练习：【江都中学08-09学年高二第二次月考】已知函数在处取得极值. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有； （Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． （1）求函数在上的最大值和最小值； （2）过点作曲线的切线，求此切线的方程. 贵州省六盘水市第一实验中学数学组 用心 爱心 专心