zxy概率第三章.pptVIP

概率论 主讲教师： 周晓阳 第三章 数字特征 1、数字特征的概率意义 2、数字特征的计算（6～8公式） 3、性质及其应用 第三章 数字特征（期望、方差、计算问题） X ---- 随机变量 ，描述： 分布 f（x） 数字:非随机 特征: 描述对象特点 例： 100人，每人发1000元。 每人手上现有价值几何？ 1000元？ 还是随机变量 X ? 设不能实现价值的可能性 为0.01 X | 1000 0.99 p | 0 0.01 每人拥有的平均价值为 EX=(1000×99＋0×1 )/100 ＝990元 （数） 保险公司收取保险金：10元×100人＝1000元 赔付 1000元 (不亏也不赚） 12×100=1200元，赚200元 EX=(1000×99＋0×1 )/100 ＝1000×0.99＋0×0.01 =x1 p1+ x2p2 （概率对取值打折，求和，概率平均） 数学期望： 大量重复才有意义 计算问题（1）：数学期望与方差的计算 —常用分布的期望和方差 数学期望和方差的性质 性质及应用 数学期望有下面基本性质: 方差的基本性质 协方差和相关系数 典型和扩展例题 数字特征 求分布，再求数字特征 回归分析，最小二乘法 两类不同群体的体重分离（zxyProb05main.m ） 习题选讲 习题选讲 习题选讲 习题选讲 习题选讲 主要内容归纳（1） 数学期望和方差的定义和计算（4公式） Eg(X),Eg(X,Y) 的计算 （4公式） 计算原则：信息利用，有简不用繁 常用分布的期望和方差（要求熟记） 理论扩展：一般期望公式，R-S积分 其它分布期望和方差 ○实验使概念易于理解； ○同时掌握应用方法； ○是学习的有效手段之一。 ○ 条件密度的概念从这里易于理解 ○ 条件均值和方差也是一样 ○ 3s原则可用来制定评判标准 理解意义，仔细讨论 2 练习10.5 设X与Y 独立，都服从N(0,1)，以f(x,y)表示(X,Y)的联合密度函数，证明：函数 解 是二维概率密度函数，若随机变量(U,V)有密度函数g(x,y)，证明：U,V都服从N(0,1)，但(U,V)不服从二维正态分布。 当 时， ? ? 0 同理 但 练习9.1 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为： 解 求(X,Y )的联合分布函数。 1 0 x y 1 y 练习10.5 设X与Y 独立，都服从N(0,1)，以f(x,y)表示(X,Y)的联合密度函数，证明：函数 解 是二维概率密度函数，若随机变量(U,V)有密度函数g(x,y)，证明：U,V都服从N(0,1)，但(U,V)不服从二维正态分布。 当 时， ? ? 0 同理 但 练习11.4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为： 解 求随机变量Z=X+Y 的密度函数f (z)。 练习10.5 设X与Y 独立，都服从N(0,1)，以f(x,y)表示(X,Y)的联合密度函数，证明：函数 解 是二维概率密度函数，若随机变量(U,V)有密度函数g(x,y)，证明：U,V都服从N(0,1)，但(U,V)不服从二维正态分布。 当 时， ? ? 0 同理 但 性质3.3.1 协方差矩阵是半正定矩阵 二元正态分布矩阵表示 性质 M~数学期望（向量） S ~协方差矩阵 于是密度参数的意义为 处理多元正态分布技术 Exi 要求，会证明（考试候选题） 要求，会证明（考试候选题） x=linspace(-30,30,500);p = (1+x.^2).^-1/pi;plot(x,p,.-) 1． 2． 3． （退化分布） ? 当X1与X2独立时, =0 X1与X2独立 运算性质重要，D(X+b）=D(X) D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)+2cov(X1+X2) 例 设X~B(n，p) 求D(X)。 设X~B(1，p)，i=1,2,…,n，相互独立，则 解 故 例（标准化）设X 有期望和方差存在， 求EY 和DY。 解 =0 =1 ~ 标准化 分解法求期望和方差 1≥ 0≤ W X m m+e m-e 分布未知时,可用于非精确估计 一、协方差 协方差的基本性质 1° 2° 3° 与量纲有关 对两个变量均具有线性 双线性性 二、相关系数 与量纲无关 定理3 且 存在 a,b∈R，使P(Y = aX +b )=1 证明 等号成立 r= 0 |r|=1 X，Y线性相关