研究生计算机图形学_第6章.pptVIP

6.3.4 面与面的交线 1. 平面与曲面的交线 平面可用一般方程表示为 Ax+By+Cz+D=0 (6-25) 而曲面则可用参数方程表示为 (6-26) 现将曲面方程代入平面方程， 有 Ax(u,v)+By(u,v)+Cz(u,v)+D=0 (6-27) 交线上的参数值应满足式(6-27)。 如果关于u或v的曲面方程在四次以下，则足以求得式(6-27)的公式解v=F(u)或u=G(v)，将其代入式(6-26)，可得交线的参数方程： 如果曲面方程为五次以上，就没有公式解，只能用近似的方法求解式(6-27)。 平面与二次曲面的相交是平面与曲面相交的特殊情况，但在几何造型中的应用较多，下面进行讨论。 设二次曲面与平面的方程分别为 Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0 ax+by+cz+d=0 (6-28) (6-29) 令b≠0， 可解得 (6-30) 将式(6-30)代入式(6-28)， 有 (6-31) 式(6-31)实际上是交线在y=0，即XOZ平面上的投影，要得到空间交线上的一点Pi(xi,yi,zi)，只需在投影线上取一点(xi,zi)， 再用式(6-30)算出其y坐标值yi,最后连接点Pi(i=1,2,…,n)， 即得平面与二次曲面的交线。 2. 曲面与曲面的交线 1) 圆柱面与二次曲面的交线 对于回转体，我们常在圆柱坐标系下进行计算。 圆柱坐标系如图 6.3.8 所示。 圆柱面的参数方程及二次曲面方程可分别写成 (6-32) 和 Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz +Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0 (6-33) 将式(6-32)代入式(6-33)并加以整理，可得 a(φ)t2+b(φ)t+c(φ)=0 (6-34) 在式(6-34)中， a(φ)=C  b(φ)=R(E sinφ+F cosφ)+I c(φ)=R2(Acos2φ+Bsin2φ+D sinφ cosφ)+R(G cosφ+H sinφ)+J 图 6.3.2 点与圆弧求交 3. 点与有限平面的求交 设一点P(x,y,z)，平面的方程为ax+by+cz+d=0。则P到平面的距离可写成： 如果Dδ，则点在平面上，否则点不在平面上。到此，还需进一步判别点是否落在平面的有效区域内。如果点落在有效区域(有限面)内，则点与该平面相交，否则无交。有限面可以是任意多边形。 一个点是否包含在一个多边形内，其判别算法有多种，如夹角之和检验法，叉积判断法，以及交点计数检验法等。在此仅介绍交点计数检验法和叉积判断法。 1) 交点计数检验法 交点计数检验法适用较广，特别适用于当多边形为凹，甚至在多边形带孔的情况下，点是否在多边形内的判别。判别方法的基本思想是：从被判断点作一射线至无穷远， 即 (u≥0) 求射线与多边形相交时交点的个数。如果交点个数为奇数，点在多边形之内；如果交点个数为偶数，则点在多边形之外。 如图 6.3.3(a)所示，射线a, c, d与多边形相交，其交点数分别为2、2、4，为偶数，可以直接判别A、C、D三点均在多边形之外。 而射线b#, e分别交多边形的交点数为 3 和 1，所以也可直接判断B、 E两点均在多边形内。 如图 6.3.3(b)所示，射线f, g, h, i, j均通过多边形的顶点，这时应另行对待，不能直接判断相应的点是否在多边形之内。 图 6.3.3 交点计数法 图 6.3.4 交点计数示意图 例如：图 6.3.3(b)中，射线f在边 7 和 8 之上，所以射线f与多边形的交点计数为 0；而射线j在边 1 与 2 之下，所以射线j与多边形的交点计数为 2。两种情况计数均为偶数，可判断F和J在多边形之外。 射线h与3、4 两条边交点计数为 0，与边 6 有 1 个交点， 所以交点数为 1+0=1，故H在多边形之内。射线i与4、5 两条边条计数为 2，与2、3两条边的交点计数为1，交点总数为 2+1=3，则点I在多边形之内。 2) 叉积判断法 图 6.3.5 叉积判断法 令 Vi=Pi-P0(i=1,2,…,n), Vn+1=V1 则多边形包含P0的充要条件是叉积Vi×Vi+1的符号相同(i=1,2,…,n)。 叉积判断算法如图 6.3.6 所示。 图 6