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特征根法求通向公式
特征根法可以解决下面两种常见数列的通向公式.
一、形如
令，解得，
①若，则是等差数列；
②若，则是等比数列.
例1（1）若，，求.
（2）若，，求.
（3）若，，求.
解：（1）令，，则
=
所以数列是首项为，公差为的等差数列，，.
（2）略
（3）令，，.
，则数列是首项为，公比为的等比数列，从而，.
二、形如，其中.
令，解得，，则.
例2若，，求.
解：令.
.而，则
，
所以数列是首项为-1，公比为2的等比数列，从而，
，
.
或由得到
，以下略。
练习：已知数列满足，.
(1)用数学归纳法证明：；
(2)求证：；
(3)求数列的通项公式.
答案：(Ⅰ) 证明：用数学归纳法证明
(1)当时， .所以结论成立.
(2)假设时结论成立,即,则
. 所以.
即时,结论成立.
由(1)(2)可知对任意的正整数，都有.…………………………………5分
(Ⅱ)证明：．
因为，所以，即．
所以．……………………………………………………………………9分
(Ⅲ)解：，
高二理科数学答案 第4页 (共5页)
所以. 又，
所以.…………………………………………………11分
又，
令，则数列是首项为,公比为的等比数列．
所以． 由，得．
所以．………………………………………………………14分
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