圆锥曲线求曲线方程.docVIP

曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。类型二常用的方法有定义法和待定系数法。 （1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。 （2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 （3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。 （4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 （5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。 （6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。 热点透析 题型1：直接法 【例1】已知定点A、B，且AB=2a。如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。 如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。 设P（x，y）。∵???? 即 化简整理，得， 即。 这就是动点P的轨迹方程。它表示以为圆心，为半径的圆。 热身训练1已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. 解:建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0),B(a,0).设M(x,y)是轨迹上任意一点. 　则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得 　(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0 　(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴). 　(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0. 　　点M的轨迹是以(－，0)为圆心，为半径的圆. 热身训练2、给定抛物线y2=8(x+2)，其焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴端点的轨迹方程。 解：抛物线y2=8(x+2)的焦点为（0，0），准线为x= -4,由题意知，x= -4必为椭圆的左准线，设椭圆短轴端点为B(x,y) (1)若（0，0）点为椭圆左焦点，则c=x,b=,e=, 　由定义得 (2)若（0，0）点为椭圆右焦点，则c= -x,b=,e=,而左焦点为（2x,0）, 　由定义得 题型2：定义法 【例2】已知方程为，定点A（4，0）。求过点A且和相切的动圆圆心P的轨迹。 【分析】由于动圆过A点，所以|PA|是动圆的半径。当动圆P与圆O外切时，|PO|=|PA|+2，即|PO|-|PA|=2；当动圆P与圆O内切时，有|PO|=|PA|-2，所以有||PO|-|PA||=2。可以看出动点P的运动满足双曲线的定义，因此可将问题转化为用定义法求轨迹方程。 【解】设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|是动圆半径。 　当动圆P与外切时，|PO|-|PA|=2； 　当动圆P与内切时，|PA|-|PO|=2； 　∴有||PO|-|PA||=2。 　∴P点的轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线， 　中心在OA的中点（2，0），实半轴长为a=1，半焦距c=2，虚半轴长。 　∴所求点P的轨迹方程为。 【例3】已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以y轴为右准线，并过定点R（1，2）。 （1）求此双曲线右焦点F的轨迹； （2）过R与F的弦与右支交于Q点，求Q点的轨迹方程。 【解】（1），? 又， 　∴，设右焦点F（x，y），由双曲线定义，得 　，? ∴。 　∴双曲线的右焦点F的轨迹是以（1，2）为圆心，为半径的圆。 （2）设Q（x，y），由双曲线的定义得 　，? ∴， 　∴，即。 热身训练1 ?如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？ 解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。 　其中第