函数基本性质(第一课时).docVIP

函数的基本性质 一、知识梳理 1、函数的概念：一般的，设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数f(x)与之对应，那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA.其中x叫做自变量，x的取值范围叫做定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数值的值域. 注：（1）函数定义强调两个非空数集之间的对应； （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则；其中，值域由函数的定义域和对应法则完全确定。 2、区间的概念：用简洁明了的方式表示集合 设a、b是两个实数，ab,我们规定： （1）满足全体实数a=x=b的集合，叫做闭区间，记作[a,b] （2）满足全体实数axb的集合，叫做开区间，记作(a,b) （3）满足全体实数a=xb的集合，叫做半开半闭区间，记作[a,b] （4）满足全体实数ax=b的集合，叫做半开半闭区间，记作(a,b] (可通过表格、图象等形式将集合、区间、数轴三者结合对比表示) 3、无穷大的概念：引入无穷大符号，与集合对比表示讲解。例：集合{x|x1} 4、函数符号的理解：（1）自变量、对应法则、函数值不一定用固定的x,y,f(x)表示，只要在情况符合的条件下，可用其他字母等代替。（对应例题讲解） （2）对于f(x)中x的理解，例如，f(x)=和f(x-1)= 等号右边的表达式都一样，但由于f施加的对应法则不一样，所以函数的解析式是不一样的。 （3）f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示表示当x=a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量。 5、函数相等：当且仅当定义域和对应法则分别向同时，这两个函数是同一个函数。 6、函数定义域求解方法： （1）基本法，已知函数表达式，求定义域； （2）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域，实质是由g(x)的取值范围，求出x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围。 7．分段函数的概念：在分段函数的定义域中，对于变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。 注：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数的问题时，要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选择相应的对应法则。 （2）分段函数的图象由N个不同的部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。 8、函数的图象 掌握基本函数的图象：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等 描点作图法：确定定义域、列表、描点、连线 图象变化作图法：平移变换、伸缩变换、对称变换 （1）平移变换： 左右平移：y=f(x) y=f(x+a)(a0) y=f(x) y=f(x-b)(b0) 上下平移：y=f(x) y=f(x)+a(a0) y=f(x) y=f(x)-b(b0) （2）对称变换：y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称 y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称 y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称 y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称 y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在X轴下方的那部分关于X轴翻转180度，其余部分不变 y=f(|x|)：保留y=f(x)的图象当x0的部分，将y轴左边关于y轴右边对称 （3）伸缩变换：（1）y=f(x) y=Af(x) （2）y=f(x) y=f(ax) 9. 函数值域的求解： (1)直接法:利用熟知基本函数的值域,观察求得函数的值域 (2)配方法:适用于二次函数型,同时注意到定义域的取值范围. (3)判别式法:适用于分式函数,无理函数等,将函数视为二次方程,利用判别式求解值域. (4)换元法:将复杂函数化归于几个简单的函数.利用基本函数的取值范围求函数的值域. (5)数形结合法:结合图像 10.函数的单调性的证明与判定： （1）利用定义判断：取值、作差变形、定号、判断并做出结