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数理统计 数理统计 第三节 抽样分布 抽样分布 就是统计量的分布。 常用的抽样分布有 分布、? 2 分布、 t 分布和 F 分布。 二、? 2 分布 三、 t 分布 四、F 分布 一、 分布 (1)正态分布的性质1 随机变量 X~N(μ,σ2)，其线性函数 Y=aX+b 仍服从正态分布，且 Y~N(aμ+b,a2σ2)，这里 a,b 均为常数，且 a?0。 (2)正态分布的性质2 n 个相互独立的随机变量 Xi~N(μi,σi2)，其线性函数 仍服从正态分布，且 这里 ci 是不全为零的常数。 定理4.1 设 X1,X2,…,Xn 是正态总体 N(μ,σ2) 的一个样本，则 定理4.2 设 X1,X2,…,Xn 是正态总体 N(μ,σ2) 的一个样本，则样本均数 ?2 分布(chi-square distribution) 定义4.5 设随机变量 X1,X2,…,Xn 相互独立，且都服从标准正态分布，则称随机变量 服从参数为 n 的 ?2 分布，记为 ?2~?2(n)。其中 n 称为自由度(degree of freedom) ，记为 df，它表示 ?2 中独立变量的个数。 ?2分布的密度函数为 伽玛函数 n=2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 15 分布 密度函数图 o x f(x) 例 已知随机变量 X~ ?2(n)，查表(P276)求以下分位数。 定理4.3 设 ?2~?2(n)，则 E(?2)=n，V(?2)=2n 定理4.4 设随机变量 且它们是相互独立的，则 定理4.5 若 X1,X2,…,Xn 是正态总体 N(μ,σ2) 的一个样本，则 （1） ； （2） 与 S2 相互独立。 ?2 分布的用途： (1)用于检验某一分布的实际频数与理论频数是否相符； (3)理论上的用途:在 ?2 分布基础上可推导出 t 分布和 F 分布。 (2)用于正态总体方差的区间估计； t 分布(t-distribution) 定义4.6 设随机变量 X~N(0,1)，Y~?2(n)，且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量 服从自由度为 n 的 t 分布，记作 t~t(n)。 t 分布的密度函数为 t 分布的密度函数图形 (红色的是标准正态分布) n = 1 n=20 x o f(x) x o f(x) 例 已知随机变量 X~t(n)，查表(P277)求以下分位数: 定理4.6 设 X1,X2,…,Xn 是正态总体 N(?,?2) 的一个样本， 和 S 分别是样本均数和标准差，则有 数理统计 04-03-24 与 相互独立 设 总体的样本为( )，则 (1) (2) 其中 定理4.7 设 X1,X2,…,Xn1 和 Y1,Y2,…,Yn2分别是从相互独立的正态总体 N(?1,?2) 和 N(?2,?2) 中抽取的样本，它们的均数及方差分别为 ， 和 ， ，则