7-2 向量的乘法运算.pptVIP

4. 数量积的坐标表示式 例3 例5-1 例6 例7 二、两向量的向量积 1. 定义7.3 4. 向量积的坐标表示式 5. 向量积的行列式计算法 注 6. 几何意义 例10 例11 ★ 三、向量的混合积 3. 混合积的坐标表示式 4. 性质 例13 例15 内容小结 思考题 数量积 向量积 *混合积 第二节 三、向量的混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 第七章 ★ 一、两向量的数量积 1. 定义7.2 设向量 的夹角为? , 称 记作 数量积 (点积或内积) . 记作 故 为两个非零向量, 则有 ? 2. 性质 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 3. 运算律 证明三角形余弦定理 证 则 如图 . 设 例1 设 则 当 为非零向量时, 由于 (2) 两向量的夹角公式 , 得 解 这表明： 分别在 x, y, z 轴上的投影. 证 解 (1) (2) 解 (1) 引例 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 其方向符合右手规则： 则力 F 作用在 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 杠杆上的力矩是一个向量 M : 其模： 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 引例中的力矩 为非零向量, 则 ∥ ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明 2. 性质 设 则 ( 行列式计算见书 p.401～p.404 ) 如： (3) 事实上， h ? =S ? h A B C 解 证 例12 解 1. 定义 已知三向量 称数量 混合积 . 记作 2. 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 设 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出) 证 ? ? 证明四点 共面 . 解 因 故 A , B , C , D 四点共面 . 已知一四面体的顶点 4 ) , 求该四面体体积 . 解 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 混合积: 2. 向量关系: 特例: 特例: 2. 用向量方法证明正弦定理: