第二篇--第三章(数论01).pptVIP

 1. 试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.2.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最大十位数.3.能否找到自然数a和b，使a2=2002+b2 能被11整除的数的特征:把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除根据分类讨论得——9876524130 原式变形为a2-b2=2002(a+b)(a-b)=2002因为2002=2×7×11×13而两数相乘积为偶数时，则两数必为奇偶或同偶。而a+b和a-b只能同奇或同偶。所以必为同偶。而2002的因数中只有一个偶数，所以不能成立。所以没有这样的自然数 第二篇--竞赛数学的主要内容 第三章 数论 －奇数和偶数 整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数 （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题 例1（第22届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，????????? □-□=□，□×□＝□?????????? □÷□＝□. 解: 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数. 例2? （第21届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数.?????????????（B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数???????（D）p是奇数，q是偶数? 分析?? 由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C） 例3? 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数. 分析? 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数? 于是题设的代数和应为偶数. 2.与整除有关的问题 例4 (日本高考数学试题) 设a、b是自然数，且有关系式 123456789=(11111+a)(11111-b)??????① 证明: a-b是4的倍数 证明? 由①式可知11111（a-b）=ab+4×617???????????????????? ②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0 首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾 其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数. 例5（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表. 3.图表中奇与偶 解?? 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个. 表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个. 显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现. 例6 （第2届“从小爱数学”赛题）如图 是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由. 4.有趣的应用题 解?（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中. （2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿