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数论--算数基本定理及应用---qwr
阜阳师范学院 数科院 初等 数论 算数基本定理及应用 * LOGO 一、 算术基本定理 定理1 设a, ai (i=1,2,…,n)是正整数，p是质数，则有： (1) p ? a的充分必要条件是(p, a)=1； (2) 若p |a1a2…an, 则p |a1， p |a2, …, p |an中至少有一个成立. 证明 (1) ∵若p |a，则(p, a)=p?1, ∴若(p, a)=1,就有p ? a. 反之, 当p ? a时，可令(p, a)=d,则有d | p, d | a, 但 p是质数，其正约数只有1和p. ∵ d | p, p ? a ∴ d ? p 故必有d=1, 即(p, a)=1, 结论(1)成立. 定理2是初等数论应用最广泛、最重要、最基本的定理，称为唯一分解定理或算术基本定理. 定理2 设N是大于1的正整数，则必有N=p1?1.p2?2.…pn?n, p1?p2?…?pn, 其中pi是质数，?i是正整数(i=1, 2, …, n).如果不考虑因数的顺序, 这个分解式是唯一的. 注：把一个合数写成质数因数连乘积的形式，称为分解质因数. N=p1?1p2?2…pn?n, 称为N的标准分解式，质数pi (i=1, 2, …, s)称为N的质因数. 例1、 求9828的标准分解式. 解：∵9828=9×1092=32×3×364 =33×4×91=22×33×7×13 ∴9828=22×33×7×13. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 自然数的正约数的个数及所有正约数的和 约数个数定理：设N=p1?1p2?2…pn?n, 则N的正约数（因数）的个数为(?1+1) (?2+1)… (?n+1). 注：上述定理说明一个大于1的整数的正约数的个数，等于它的标准分解式中每个质因数的指数加1的连乘积. 例、21560有多少个正因子? 解：21560=23×5×72×11 所以，21560的正因子的个数为4×2×3×2=48. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例、21560的所有约数之和是多少? 解：21560=23×5×72×11 所以, 21560的所有正约数之和为 （1+2+22+23)(1+5)(1+7+72)(1+11)=61560 约数之和定理：设N=p1?1p2?2…pn?n, 若用S(N)表示自然数N的全部正约数之和，则有 S(N)=(1+ p1+p12+p13+….+p1 ?1) (1+p2+p22+…+ p2 ?2)… (1+pn+pn2+…+pn ?n).
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