第10讲习题课2--元素的阶和逆元第10讲习题课2--元素的阶和逆元.pptVIP

再看习题 给出下列6元置换： 性质1：设群G中元a的阶为n。则 性质2：设群G中元a的阶为无限。则 一：元素阶的性质 性质3：设群G中元a的阶为n。则ak的阶 推论2：设群G中元a的阶为n。则ak的阶为n 的充分必要条件是(n,k)=1。 推论3：设群G中元a的阶为n。则a的逆元 a-1=an-1，且a-1阶也为n。 推论1：设群G中元a的阶为st，则as的阶为t， 其中 s, t 均为正整数。 在群中，若 ， ，则当 且 时， 证明： ， ， 于是 若 同理 ， 性质4 补充： 在群G中，若a的阶是m，b的阶是n，ab=ba ，则 1.若a∩b={e}时，ab的阶是[m,n],其中 [m,n]是m和n的最小公倍数; 2. |ab| 整除 [m,n] 例1：模24 的剩余类加群中每个元的逆元及其阶。 性质2 二、循环置换的逆元和阶 性质1 设a，b是群的两个元，则 (ab)-1=b-1a-1 。 性质3 k—循环置换的阶为k. 证明：设 是一个k-循环置换。则 性质4 两个不相连的循环置换是可以交换的. 证明：设 和 是有限集合A上的两个不相连的循环置换。 任取A中元k，考虑k在下面循环置换乘积下的象 第1种情况：k等于某个i，不妨设i1 。 第2种情况：k等于某个j，不妨设j1 。 第3种情况：k即不等于某个j，也不等于某个i。 性质5(鲁菲尼定理) 不相连的循环置换乘积 的阶为循环置换阶的最小公倍数. 例：求(1234)(56789 10)的阶。 (4,6)=12 求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） 1：求模24剩余类加群中每一个元的逆元和阶。 解答作业 2：设G是全体n阶可逆方阵集合，设N是一个可逆n阶方阵。设G上带有如下代数运算 ：任取方阵A ，B。令 试用定义法和同态法证明G对于上述运算构成群。 * *