高等代数小论文--分块矩阵及其应用.docVIP

分块矩阵及其应用 万毓令 （重庆三峡学院数学与计算机科学学院 数学与应用数学09级2班） 摘要: 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了解线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都是提出矩阵的概念.. 关键词：分块矩阵 矩阵的分块 矩阵的计算 证明 应用 引言： 在已有的相关文献中，分块矩阵的一些应用如下： （1）从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用 . （2）通过论述证明矩阵的分块在高等代数中的应用 ,包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题 ,用分块矩阵求逆矩阵问题 ,用分块矩阵求矩阵的行列式问题 ,用分块矩阵求矩阵的秩的问题 ,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵问题. （3）给出利用分块矩阵计算行列式的方法，可分几方面讨论，当矩阵或可逆时；当矩阵,时；当与或者与可交换时；当矩阵被分成两个特殊矩阵的和时行列式的计算. （4）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性. 主要内容 1.分块矩阵 1.1. 分块矩阵的定义 用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵： ???????????? 其中每个小矩阵 叫做的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2]. 1．2 运算规则 ， (k是数量) 在用规则1）时，与的分块方法须完全相同；用性质3）时，的列的分法与的行的分法须相同. 1.3分块矩阵的性质及其推论 在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]: 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面; 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号; 利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广. 性质 设方阵是由如下分块矩阵组成 其中 ,,,,,,,,都是矩阵 ,又是任一级方阵 .对于矩阵 则 证明 设为级单位矩阵 ,则 于是 性质 　设矩阵是由如下分块矩阵组成 其中 ,,,,,,,,都是矩阵 ,又是任一阶方阵 .对于矩阵 则 证明 由 其中 是级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得 性质 　设方阵和写成如下形式 , 其中 ,,,,,,,,都是 s ×t 矩阵，则 || 证明 　可由中的,,与,,相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当为偶数时 || 当为奇时 ||- 可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立. 下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 推论 　设,都是阶方阵,则有