12.4节函数展开成幂级数.pptVIP

一、泰勒级数 回顾：n阶泰勒公式 ★ 泰勒级数 定理2 二、 函数展开成幂级数 例1. 将函数 例2. 将函数 例3. 将函数 为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为 由此得 ★ 间接展开法 例5. 将函数 例8. 将 例9. 将 内容小结 * 第四节　函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 比如： 问题： 给定一个幂级数，在其收敛域内，如何求其和函数？ 反问题： 和函数： 讨论: 1.如果能展开, 　是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 反问题： 其中 ( ? 在 x 与 之间) 称为拉格朗日余项 . 此式称为 的 阶泰勒公式 , 称为麦克劳林级数. 待解决的问题 : (1)对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 证明: 令 定理1: 若 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 则在收敛区间内 结论成立 . ★ 直接展开法 第一步 求函数及其各阶导数在x = 0处的值; 第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R; 展开成 x 的幂级数. 解: 它的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项为 故 ( ? 在 0 与 x 之间 ) 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数 它的收敛半径 对任何有限数x, 其余项有 类似可推出 展开成 x 的幂级数, 其中 m 为任意常数 . 解: 容易求出 于是 ? 由于 因此, 对任意常数 级数在开区间 内收敛 . m , 推导 称为二项展开式 . 说明： 1 . 在 处的收敛性与 有关 . 2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 对应 的二项展开式分别为 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将 　所给函数展开成 幂级数. ★ 常见幂级数的展开式 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 把 x 换成 , 得 展开成 x 的幂级数 . 解: 从 0 到 x 积分 上式右端的幂级数在 收敛 , 而 在 有 定义, 且连续 , 所以展开式对 也是成立的 , 于是收敛 区间为 利用此题可得 展成 解: 的幂级数. 展成 的幂级数. 解: * * *